第三章 微分中值定理与导数的应用 第三节 泰勒公式

第三节 泰勒公式

\quad 泰勒中值定理1 \quad 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$，有$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$其中$$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n).$$

\quad 该公式是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式，$R_n(x)$ 称为佩亚诺余项，即近似表达产生的误差，但不能估算误差大小.

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\quad 泰勒中值定理2 \quad 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对任一 $x\in U(x_0)$，有$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$其中$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},$$这里 $\xi$ 是 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值.

\quad 该公式是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式，$R_n(x)$ 称为拉格朗日余项.

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\quad 当 $n=0$ 时，定理 2 泰勒公式会变成拉格朗日中值公式$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(\xi )(x-x_0)(\xi 在x_0与x之间)$$因此，泰勒中值定理 2 是拉格朗日中值定理的推广.

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\quad 当 $x_0=0$ 时，定理 1 泰勒公式会变成带有佩亚诺余项的麦克劳林公式$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n).$$

\quad 当 $x_0=0$ 时，定理 2 泰勒公式会变成带有拉格朗日余项的麦克劳林公式$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}(0<\theta <1).$$

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习题 3-3