第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

\quad 定义 1 \quad 如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导数为 $f(x)$，即对任一 $x\in I$，都有$$F^{\prime }(x)=f(x)或\text{d}F(x)=f(x)\text{d}x,$$那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)(或f(x)\text{d}x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数.

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\quad 原函数存在定理 \quad 如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$，使对任一 $x\in I$ 都有$$F^{\prime }(x)=f(x).$$
简言之：连续函数一定有原函数.

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\quad 定义 2 \quad 在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)(或f(x)\text{d}x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记作$$\int f(x)\text{d}x.$$其中记号 $\int$ 为积分号，$f(x)$ 为被积函数，$f(x)\text{d}x$ 为被积表达式，$x$ 为积分变量.

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二、基本积分表

① $\int k\text{d}x=kx+C(k是常数)$，

② $\int x^{\mu }\text{d}x=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C(\mu \ne -1)$，

③ $\int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln |x|+C$，

④ $\int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x=\arctan x+C$，

⑤ $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x=\arcsin x+C$，

⑥ $\int \cos x\text{d}x=\sin x+C$，

⑦ $\int \sin x\text{d}x=-\cos x+C$，

⑧ $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x=\int {\sec }^{2}x\text{d}x=\tan x+C$，

⑨ $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}\text{d}x=\int {\csc }^{2}x\text{d}x=-\cot x+C$，

⑩ $\int \sec x\tan x\text{d}x=\sec x+C$，

⑪ $\int \csc x\cot x\text{d}x=-\csc x+C$，

⑫ $\int e^x\text{d}x=e^x+C$，

⑬ $\int a^x\text{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$.

以上13个基本积分公式是不定积分的基础，必须熟记.

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三、不定积分的性质

\quad 性质 1 \quad 设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在，则$$\int [f(x)+g(x)]\text{d}x=\int f(x)\text{d}x+\int g(x)\text{d}x.$$

\quad 性质 2 \quad 设函数 $f(x)$ 的原函数存在，$k$ 为非零常数，则$$\int kf(x)\text{d}x=k\int f(x)\text{d}x.$$

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习题 4-1