第一节 微分中值定理
一、罗尔定理
费马引理 \quad 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0) 内有定义，并且在 x 0 x_0 x0 处可导，如果对任意的 x ∈ U ( x 0 ) x\in U(x_0) x∈U(x0)，有 f ( x ) ≤ f ( x 0 ) ( 或 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) ) , f(x)\le f(x_0)\quad(或f(x)\ge f(x_0)), f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)), 那么 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0.
通常称导数等于零的点为函数的驻点 (或稳定点，临界点).
罗尔定理
\quad
如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 满足
(1)
\;
在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 区间上连续;
(2)
\;
在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 区间内可导;
(3)
\;
在区间端点处的函数值相等，即
f
(
a
)
=
f
(
b
)
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)，那么在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 内至少有一点
ξ
(
a
<
ξ
<
b
)
\xi\,(a<\xi<b)
ξ(a<ξ<b)，使得
f
′
(
ξ
)
=
0
f'(\xi)=0
f′(ξ)=0.
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
\quad
如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 满足
(1)
\;
在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 区间上连续;
(2)
\;
在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 区间内可导;
那么至少在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 内至少有一点
ξ
(
a
<
ξ
<
b
)
\xi\;(a\lt\xi\lt b)
ξ(a<ξ<b)，使等式
f
(
b
)
−
f
(
a
)
=
f
′
(
ξ
)
(
b
−
a
)
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)成立.
定理 \quad 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上连续， I I I 内可导且导数恒为零，那么 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上是一个常数.
三、柯西中值定理
柯西中值定理
\quad
如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 及
F
(
x
)
F(x)
F(x) 满足
(1)
\;
在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 区间上连续;
(2)
\;
在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 区间内可导;
(3)
\;
对任一
x
∈
(
a
,
b
)
,
F
′
(
x
)
≠
0
,
x\in(a,b),F'(x)\ne0,
x∈(a,b),F′(x)=0, 那么在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 内至少有一点
ξ
\xi
ξ，使等式
f
(
b
)
−
f
(
a
)
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
f
′
(
ξ
)
F
′
(
ξ
)
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)成立.
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