10、加速 F2 上格罗布纳基计算的灵活部分扩展方法

加速 F2 上格罗布纳基计算的灵活部分扩展方法

1. 引言

在多元多项式求解算法的发展下，代数密码分析对许多密码系统构成了潜在威胁。不过，理论复杂度估算表明，这种攻击在大多数实际应用中并不可行。本文提出了一种计算格罗布纳基的策略，对传统的复杂度估算提出了挑战。该策略运用灵活的部分扩展技术以及简化行阶梯形式，生成低次元素——突变体。这种新策略突破了以往的界限，促使我们重新思考格罗布纳基计算复杂度的估算范式。新提出的算法仅使用 30GB 内存，就计算出了一个具有 32 个变量和 32 个方程的二次随机系统的格罗布纳基，这是以往已知的任何格罗布纳基求解器都未曾做到的。

求解多元多项式方程组是格罗布纳基的重要应用之一。计算理想的格罗布纳基的算法复杂度，取决于计算过程中所使用的理想元素子集的大小。因此，最小化这个子集的大小是该领域研究的一个重要目标。

设 $P$ 是一个有限的二次多项式集合。对于 $d \geq 2$，考虑集合：
$H_d := {t \cdot p | t 是项, p \in P, deg(tp) \leq d}$

当 $d$ 足够大时，$H_d$ 的行阶梯形式就是 $\langle P \rangle$ 的格罗布纳基。然而，在代数密码分析中出现的系统及其求解所需的相应次数非常大，构建 $H_d$ 变得不可行，内存通常是主要的限制因素。我们采用的关键策略是，在 $d$ 足够大的情况下探索并在 $H_d$ 中进行计算，但在任何给定时间都不存储整个 $H_d$ 集合。

2. 相关概念突破

• 突变多项式 ：非正式地说，如果多项式 $p \in span(H