67、皮尔士存在图贝塔部分擦除与插入变换规则的对称组织

皮尔士存在图贝塔部分擦除与插入变换规则的对称组织

1. 存在图的基本介绍

存在图（Existential Graphs）是一种用图形工具而非标准形式逻辑公式的逻辑图示系统，它分为三个部分：阿尔法部分、贝塔部分和伽马部分。大致来说，阿尔法部分对应命题逻辑，贝塔部分对应一阶谓词逻辑，伽马部分可看作模态逻辑。本文聚焦于贝塔部分，因为我们对皮尔士在这部分的研究项目还缺乏更精确的理解。

在标准形式逻辑中，“某物既是 F 又是 G”表示为 ∃x(Fx ∧ Gx)。而在存在图中，通过用粗线连接“F”和“G”来表示，如图 1 左图所示。存在图将这些图示表示称为图，皮尔士把位于“F”和“G”之间的粗线称为同一线（line of identity），它断言其两个端点所表示个体的同一性。

皮尔士还使用一种称为分隔（sep）或切割（cut）的封闭曲线，其作用是否定被它包围的整个图所表示的命题。皮尔士将切割内的区域称为封闭区域（close）。例如，将图 1 左图中的“G”用切割包围，得到中图，表示“某物是 F 且不是 G”；若再将整个中图用切割包围，得到右图，表示“不存在既是 F 又不是 G 的事物”，即“每个 F 都是 G”，对应命题 ∀x(Fx → Gx)。

皮尔士规定了两个基本的图变换规则：
- 插入规则 ：允许在给定图的指定封闭区域内绘制新图。例如，在图 2 左图中，插入操作可在切割形成的封闭区域内“F”旁边绘制“G”，得到中图；也可通过插入用粗线连接“F”和“G”，得到右图，表示“不存在同时是 F 和 G 的事物”。
- 擦除规则 ：允许从给定图的指定封闭区域中移除图。例如，在图