19、大数定律系统设计：从原子尺度到系统层面的可靠性保障

大数定律系统设计：从原子尺度到系统层面的可靠性保障

1. 大数定律与统计现象

大数定律（Law of Large Numbers，LLN）指出，对于具有有限期望值的随机变量序列，当序列的均值收敛到期望值时，大数定律成立。用数学公式表示为：
[ \lim_{n \to \infty} \text{Prob} \left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_i - E(y) \right| \geq \epsilon \right) = 0 ]
这意味着，尽管每个随机变量 ( y_i ) 具有概率性质，但大量 ( y_i ) 的聚合性质是相当可预测的。随着聚合事件数量的增加，偏离均值的可能性越来越小。

在电子系统中，大多数物理现象在原子尺度上是统计性的。以硅器件制造中的掺杂为例，我们通过混合一定比例的杂质（施主、受主）来改变器件的能带结构，而不是精确地放置每个原子。在操作过程中，电流流动是单个电子行为的总体表现，单个电子的运动具有概率性，我们只能从统计上了解每个电子的行为。同样，在存储电荷时，热能量和量子隧穿使单个电子有一定概率越过势垒，离开或进入节点。

2. 大数定律带来的可靠制造和行为

大数定律使我们能够在单个原子或电子行为具有概率性的情况下，实现非常可靠的器件制造和器件性能。以掺杂为例，虽然我们不能保证硅晶体中恰好有 999 个硅原子和 1 个硼原子，但大数定律确保我们可以高度确信在有 ( 10^9 ) 个晶格位置的掺杂区域中有接近 ( 10^6 ) 个硼原子，且参数（如电阻、阈值水平）的变化很小。

当器件上有大量电子时，电子整体的行为（电流流动）将非常接近单个电子的预期行