2、扩展域上椭圆曲线的高效配对研究

扩展域上椭圆曲线的高效配对研究

1 背景知识

1.1 双线性配对

设 $E$ 是定义在有限域 $\mathbb{F} q$（$q$ 为素数幂）上的椭圆曲线，其单位元记为 $O$。设 $r \geq 5$ 是 $|E(\mathbb{F}_q)|$ 的素因子，$k > 1$ 是使得 $r\mid q^k - 1$ 的最小整数，称为关于 $r$ 的嵌入度。这里定义 $G_1 = E[r] \cap \text{Ker}(\pi_q - 1)$ 和 $G_2 = E[r] \cap \text{Ker}(\pi_q - q)$ 为 $E$ 上 $q$ 次 Frobenius 自同态 $\pi_q$ 的两个特征子空间。设 $\mu_r \subset \mathbb{F} {q^k}^*$ 表示 $r$ 次单位根群。对于 $s \in \mathbb{Z}$ 和 $R \in E[r]$，设 $f_{s,R}$ 是 $\mathbb{F} {q^k}$ - 有理函数，其除子为 $\text{div}(f {s,R}) = s(R) - ([s]R) - (s - 1)(O)$。

• Tate 配对及其变体 ：
  • 约化 Tate 配对定义为 $t_r: G_1 \times G_2 \to \mu_r$，$(P, Q) \mapsto f_{r,P}(Q)^{(q^k - 1)/r}$。
  • 设 $s$ 是满足 $s \equiv q \pmod{r}$ 的整数。当 $r \nmid c \equiv \sum_{j = 0}^{k -