3、扩展域上椭圆曲线的高效配对技术解析

扩展域上椭圆曲线的高效配对技术解析

1. 配对比较

在理论层面，我们对特定配对格中的最优配对与最优 ate 配对、最优扭曲 ate 配对进行了比较。这里有两个前提假设，一是所有配对格中都存在最优配对，二是扩展域上存在适合配对的曲线。

假设 $F_{p^{mk}}$ 是一个适合配对的域，其中 $p^m \equiv 1 \pmod{12}$ 且 $k = 2^i3^j$。参考相关分析，我们将 $F_{p^{mk}}$ 中的一次乘法运算成本量化为 $3^i5^j$ 次 $F_{p^m}$ 中的乘法运算。在实际实现中，循环参数的汉明重量通常很小，这意味着在整个循环过程中遇到的加法步骤很少。因此，我们主要比较 Miller 算法中双倍步骤的操作次数。

以下是 ate 配对和扭曲 ate 配对单双倍步骤的操作次数表：
| 曲线及扭曲度 | 成本部分 1 | 成本部分 2 | 成本部分 3 |
| — | — | — | — |
| ate $a(Q’, P’)$
$y^2 = x^3 + ax, d = 2, 4$
$y^2 = x^3 + b, d = 2, 6$ | $2m_e + 8s_e + 1d_a$
$2m_e + 7s_e + 1d_b$ | $2(\frac{k}{d})m_1$ | $1m_k + 1s_k$ |
| 扭曲 ate $a_{twist}(P, Q)$
$y^2 = x^3 + ax, d = 2, 4$
$y^2 = x^3 + b, d = 2, 6$ | $2m_1 + 8s_1 + 1d_a$
$2m_1 + 7s_1 + 1d_b$ | $2(\fr