洛谷 P4322 [JSOI2016]最佳团体分数规划+dp

最新推荐文章于 2022-11-23 19:25:41 发布

Amber_lylovely

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本文介绍了一道涉及分数规划和动态规划的经典算法题目。题目要求在给定的树形结构中选择若干节点，使得特定的分数比值最大化，并详细解析了解题思路与代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
给定一棵树， $n$ 个节点。每个节点有 $a_i$ 和 $b_i$ 两个值。要求选出若干节点，保证某个节点被选，他的父亲一定被选。
使
$∑i=1kai∑i=1kbi\frac{\sum_{i=1}^{k}a_i}{\sum_{i=1}^{k}b_i}$ 最大化。

$n \leq 1000$

分析：
考虑分数规划，二分一个 $m i d$ ，
当 $m i d$ 合法时，有
$∑i=1kai∑i=1kbi≥mid\frac{\sum_{i=1}^{k}a_i}{\sum_{i=1}^{k}b_i}≥mid$
即
$∑i=1kai−mid∗∑i=1kbi≥0\sum_{i=1}^{k}a_i-mid*\sum_{i=1}^{k}b_i≥0$
也就是
$∑i=1kai−mid∗bi≥0\sum_{i=1}^{k}a_i-mid*b_i≥0$
把点的权值设为 $a_i-mid*b_i$ ，考虑树上dp。设 $f [i] [j]$ 表示 $i$ 的子树中选 $j$ 个的最大值，看是否≥0。
转移要使用枚举 $s i z e$ 的方法，dp复杂度是 $O(n^2)$ 的。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

const int maxn=2507;
const double esp=1e-5;

using namespace std;

int n,m,cnt,x;
double l,r,mid,ans;
int a[maxn],b[maxn],size[maxn],ls[maxn];
double f[maxn][maxn],tmp[maxn],val[maxn];

struct edge{
    int y,next;
}g[maxn*2];

void add(int x,int y)
{
    g[++cnt]=(edge){y,ls[x]};
    ls[x]=cnt;
}

void dfs(int x,int fa)
{
    size[x]=1,f[x][0]=0,f[x][1]=val[x];
    for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
    {
        int y=g[i].y;
        dfs(y,x);
        for (int j=1;j<=size[x]+size[y];j++) tmp[j]=f[x][j];
        for (int j=1;j<=size[x];j++)
        {
            for (int k=0;k<=size[y];k++)
            {
                tmp[j+k]=max(tmp[j+k],f[x][j]+f[y][k]);
            }
        }
        size[x]+=size[y];
        for (int j=1;j<=size[x];j++) f[x][j]=max(f[x][j],tmp[j]);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    m++;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&b[i],&a[i],&x);
        add(x,i);
    }	
    l=0,r=1e8;
    while (r-l>esp)
    {
        mid=(l+r)/2;
        for (int i=1;i<=n;i++) val[i]=(double)a[i]-b[i]*mid;
        for (int i=0;i<=n;i++)
        {
            for (int j=0;j<=m;j++) f[i][j]=-0x3f3f3f3f;
        }
        dfs(0,0);
        if (f[0][m]>=0) l=mid,ans=mid;
                   else r=mid;
    }
    printf("%.3lf",ans);
}