jzoj 6086. 【GDOI2019模拟2019.3.26】动态半平面交主席树+set

最新推荐文章于 2021-03-31 16:59:18 发布

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本文介绍了一种求解区间内所有数最小公倍数(LCM)的方法，利用质因数分解和线段树实现。文章详细阐述了算法原理、数据结构设计及代码实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
在这里插入图片描述
Input

Output

Sample Input

0 5
4 6 3 2 7
1 2
1 3
3 4
3 5
2
1 2
3 0

Sample Output

84
3

Data Constraint
在这里插入图片描述
Hint

注意：输入格式第5行“正整数”改为“非负整数”

分析：
考虑序列上要怎么做。
因为要取模，所以不能有欧几里得求lcm，只能通过因数分解形式求。显然不用质数间互不干扰，考虑一个质数 $p$ 的贡献。
这个数的贡献就是区间内 $p$ 的幂次的最大值。

考虑这样一个问题，求区间内不同数的乘积（相同的数只算一次）。我们考虑这样一种方法，对于每个数 $a [i]$ ，设 $p r e$ 为前一个 $a [i]$ 所在的位置，那么在 $p r e$ 处除以 $a [x]$ ，在 $i$ 处乘 $a [x]$ ，然后对 $i$ 进行可持久化。那么 $t r e e [r] - t r e e [l - 1]$ 这棵线段树的区间 $[l, r]$ 的乘积就是 $[l, r]$ 的答案。这要做有一个好处，就是可以不用管 $a [i]$ 的插入顺序。

对于这一题来说，我们设对于一个有 $p^k$ 这个因子的数， $p^1$ , $p^2$ ，…， $p^k$ 看成在这个位置的不同的数，代价都看做 $p$ 。考虑区间内不同数的乘积，如果存在 $p^a$ ，那么必定存在 $p^1$ ~ $p^a$ ，而我们只要是存在的幂次都会贡献一个 $p$ 。
显然存在的幂次就是 $p^1$ ~ $p^{max}$ ，贡献显然就是 $p^{max}$ 。序列上就做完了。

然后就是上树。对于一个节点来说，设他的权值为 $x$ ， $p r e$ 就是他的祖先中第一个权值为 $x$ 的节点。因为不用管顺序，考虑先把这些点按 $d f s$ 序排序后依次插入。那么 $p r e$ 就是它与排序后的数列中它的前一位的 $l c a$ 。然后我们可以通过区间查询求出答案。

因为询问有深度限制，我们应该按深度插入，此时使用 $s e t$ 维护 $d f s$ 序即可。
显然一个数分解质因数后不超过 $l o g n$ 个数，然后主席树插入和set都是 $l o g$ 的。
总复杂度是 $O (n * l o g n * l o g V)$

代码：

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <algorithm>
#define LL long long

const int N=1e5+7;
const int maxa=1e7+7;
const LL mod=998244353;

using namespace std;

int n,opt,T,nump,cnt,tot,x,y;
int p[maxa],low[maxa],a[N],b[N],id[N],ls[N],dep[N],dfn[N][2],f[N][20],root[N];
bool not_prime[maxa];

struct edge{
	int y,next;
}g[N*2];

struct node{
	int l,r;
	LL data;
}t[N*550];

set <int> s[N];
map <int,int> h;

bool cmp(int a,int b)
{
	return dep[a]<dep[b];
}

void getprime(int n)
{
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!not_prime[i])
		{
			p[++nump]=i;
			low[i]=i;
		}
		for (int j=1;j<=nump;j++)
		{
			if (i*p[j]>n) break;
			not_prime[i*p[j]]=1;
			low[i*p[j]]=p[j];
			if (i%p[j]==0) break;
		}
	}
}

void add(int x,int y)
{
	g[++cnt]=(edge){y,ls[x]};
	ls[x]=cnt;
}

void dfs(int x,int fa)
{
	f[x][0]=fa;
	dep[x]=dep[fa]+1;
	dfn[x][0]=dfn[x][1]=++cnt;
	id[cnt]=x;
	for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
	{
		int y=g[i].y;
		if (y==fa) continue;
		dfs(y,x);
		dfn[x][1]=dfn[y][1];
	}
}

int getlca(int x,int y)
{
    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    int d=dep[y]-dep[x],k=19,t=1<<k;
    while (d)
    {
        if (d>=t) d-=t,y=f[y][k];
        t/=2,k--;
    }
    if (x==y) return x;
    k=19;
    while (k>=0)
    {
        if (f[x][k]!=f[y][k])
        {
            x=f[x][k];
            y=f[y][k];
        }
        k--;
    }
    return f[x][0];
}

LL ksm(LL x,LL y)
{
	if (y==1) return x;
	LL c=ksm(x,y/2);
	c=(c*c)%mod;
	if (y&1) c=(c*x)%mod;
	return c;
}

void ins(int &p,int q,int l,int r,int x,int k)
{
	p=++cnt;
	t[p].data=t[q].data*k%mod;
	if (l==r) return;
	int mid=(l+r)/2;
	if (x<=mid) t[p].r=t[q].r,ins(t[p].l,t[q].l,l,mid,x,k);
	       else t[p].l=t[q].l,ins(t[p].r,t[q].r,mid+1,r,x,k);
}

LL query(int p,int l,int r,int x,int y)
{
	if (!p) return 1;
	if ((l==x) && (r==y)) return t[p].data;
	int mid=(l+r)/2;
	if (y<=mid) return query(t[p].l,l,mid,x,y);
	else if (x>mid) return query(t[p].r,mid+1,r,x,y);
	else return query(t[p].l,l,mid,x,mid)*query(t[p].r,mid+1,r,mid+1,y)%mod;
}

int main()
{
	freopen("half.in","r",stdin);
	freopen("half.out","w",stdout);
	getprime(1e7);
	scanf("%d%d",&opt,&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),b[i]=i;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	cnt=0;
	dfs(1,n);
	for (int j=1;j<20;j++)
	{
		for (int i=1;i<=n;i++) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	}
	sort(b+1,b+n+1,cmp);
	cnt=0;
	t[0].data=1;	
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=b[i],d=dep[x];
		root[d]=root[dep[b[i-1]]];
		while (a[x]>1)
		{
			int nowp=low[a[x]],P=1;
			int inv=(int)ksm((LL)nowp,mod-2);
			while (a[x]%nowp==0)
			{
				P*=nowp;
				int c=h[P],last=0,next=0;
				if (!c) c=++tot,h[P]=c;
				s[c].insert(dfn[x][0]);
				set <int> ::iterator it=s[c].lower_bound(dfn[x][0]);
				if (it!=s[c].begin())
				{
					it--;
					last=id[*it];
					it++;
				}
				it++;
				if (it!=s[c].end()) next=id[*it];
				it--;
				ins(root[d],root[d],1,n,dfn[x][0],nowp);
				if (last) ins(root[d],root[d],1,n,dfn[getlca(last,x)][0],inv);
				if (next) ins(root[d],root[d],1,n,dfn[getlca(x,next)][0],inv);
				if ((last) && (next)) ins(root[d],root[d],1,n,dfn[getlca(last,next)][0],nowp);
				a[x]/=nowp;
			}
		}
	}
	LL ans;
	scanf("%d",&T);
	for (int i=1;i<=T;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		x^=(int)ans*opt;
		y^=(int)ans*opt;
		y=min(dep[x]+y,dep[b[n]]);
	    ans=query(root[y],1,n,dfn[x][0],dfn[x][1]);
	    printf("%lld\n",ans);
	}
}