洛谷 P4253 [SCOI2015]小凸玩密室

题目描述

小凸和小方相约玩密室逃脱，这个密室是一棵有 $n$ 个节点的完全二叉树，每个节点有一个灯泡。点亮所有灯泡即可逃出密室。每个灯泡有个权值 $a_i$，每条边也有个权值 $b_i$。点亮第一个灯泡不需要花费，之后每点亮一个新的灯泡 $v$ 的花费，等于上一个被点亮的灯泡 $u$ 到这个点 $v$ 的距离 $D_{u,v}$，乘以这个点的权值 $a_v$。在点灯的过程中，要保证任意时刻所有被点亮的灯泡必须连通，在点亮一个灯泡后必须先点亮其子树所有灯泡才能点亮其他灯泡。请告诉他们，逃出密室的最少花费是多少。

输入输出格式

输入格式：
第 $1$ 行包含 $1$ 个数 $n$，代表节点的个数
第 $2$ 行包含 $n$ 个数，代表每个节点的权值 $a_i$。$(i=1,2,\dots \dots ,n)$
第 33 行包含 $n-1$ 个数，代表每条边的权值 $b_i$，第 $i$ 号边是由第 $(i+1)/2$ 号点连向第 $i+1$ 号点的边。
$(i=1,2,\dots \dots ,n-1)$
输出格式：
输出包含 $1$ 个数，代表最少的花费。

输入输出样例

输入样例#1：
3
5 1 2
2 1
输出样例#1：
5
说明

对于 $10\%$ 的数据， $1\le n\le 10$
对于 $20\%$ 的数据， $1\le n\le 20$
对于 $30\%$ 的数据， $1\le n\le 2000$
对于 $100\%$ 的数据， $1\le n\le 2\ast 10^5$,$1\le a_i,b_i\le 10^5$

分析：
因为点亮的灯必须是一个连通块，而且子树内也必须全部点亮才能点别的，所以点亮顺序一定是先从某个点$x$
开始，点完他的子树，然后再点亮他的父亲，然后点他的兄弟（没有跳过），然后再点父亲的父亲……
我们设 $f[i][j]$ 为从点$i$走到他的$j$级祖先的另一个儿子的代价。
$g[i][j]$ 为从点$i$走到他的$j$级祖先的代价。
对于一个叶子节点，无任何代价就可以乱走，代价就直接是距离$\ast$终点的权值。
对于一个只有左儿子的节点，那么这个节点子树内一定只有两个点。那么先要走到这个左儿子，因为左儿子是也只节点，直接加上左儿子对应转移值。
对于其他节点，先考虑 $f$ 值的转移。假设当前点为 $x$，我们先往左走，花费代价就是这两点距离$\ast$终点权值，然后再从左儿子走到右儿子，也就是$x.lson$的$1$级祖先的另一个儿子，即$f[x.lson][1]$，然后再从右儿子走到目标点的另一个儿子得到$f[x][j]$，因为$x$要走$j$层，那么儿子就要走$j+1$层。
转移为
$$f[i][j]=dis(i,i.lson)\ast w[i.lson]+f[i.lson][1]+f[i.rson][j+1]$$
如果走右儿子同理，两者取 $min$。
$g$ 值也一样处理，不过这个要用到 $f$ 值。
那么从$x$点开始的答案就是走到 $0$ 号点（假设是 $1$ 的父亲）的代价，因为最后一步是从任意一定一点（叶子节点）结束，不好统计，又因为 $0$ 号点的权值为$0$，所以走到$0$号点没有费用，所以直接可以看做答案。
复杂度是$O(nlogn)$的。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=2e5+7;

using namespace std;

LL a[maxn],b[maxn],lc[maxn],rc[maxn];
LL n;
LL g[maxn][20],f[maxn][20],dis[maxn][20];
LL ans,sum;

LL brother(LL k,LL x)
{
    return (k>>(x-1))^1;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (LL i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for (LL i=2;i<=n;i++) scanf("%lld",&dis[i][1]);	
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        if (i*2<=n) lc[i]=i*2;
        if (i*2+1<=n) rc[i]=i*2+1;
    }
    for (LL j=2;j<20;j++)
    {
        for (LL i=1;i<=n;i++)
        {
        	dis[i][j]=dis[i][j-1]+dis[i>>(j-1)][1];
        }	
    }  
    for (LL i=n;i>0;i--)
    {
        if (!lc[i])
        {
            for (LL j=1;i>>(j-1);j++) 
            {
                f[i][j]=(dis[i][j]+dis[brother(i,j)][1])*a[brother(i,j)];
            }	
        }
        else if (!rc[i])
        {
            for (LL j=1;i>>(j-1);j++) 
              f[i][j]=dis[lc[i]][1]*a[lc[i]]+f[lc[i]][j+1];
        }
        else
        {
            for (LL j=1;i>>(j-1);j++) 
              f[i][j]=min(dis[lc[i]][1]*a[lc[i]]+f[lc[i]][1]+f[rc[i]][j+1],dis[rc[i]][1]*a[rc[i]]+f[rc[i]][1]+f[lc[i]][j+1]);
        }
    }			
    for (LL i=n;i>0;i--)
    {
        if (!lc[i])
        {
            for (LL j=1;i>>(j-1);j++) 
              g[i][j]=dis[i][j]*a[i>>j];
        }
        else if (!rc[i])
        {
            for (LL j=1;i>>(j-1);j++) 
              g[i][j]=g[lc[i]][j+1]+dis[lc[i]][1]*a[lc[i]];
        }
        else
        {
            for (LL j=1;i>>(j-1);j++) 
              g[i][j]=min(dis[lc[i]][1]*a[lc[i]]+f[lc[i]][1]+g[rc[i]][j+1],dis[rc[i]][1]*a[rc[i]]+f[rc[i]][1]+g[lc[i]][j+1]);
        }
    }		   
    ans=1e18;		
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        sum=g[i][1];
        for (LL x=i>>1,j=1;x>0;x>>=1,j++)
        {
            LL fa=x>>1;
            if (brother(i,j)>n) sum+=dis[x][1]*a[fa];
                           else sum+=dis[brother(i,j)][1]*a[brother(i,j)]+g[brother(i,j)][2];
        }
        ans=min(ans,sum);
    }
    printf("%lld",ans);
}