bzoj 2326: [HNOI2011]数学作业矩阵乘法

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

Amber_lylovely

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分类专栏：矩阵乘法

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本文介绍了一种解决数学难题的方法，即计算Concatenate(1...N)ModM的值，通过矩阵递推的方式进行分段计算，适用于大数运算场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：给定正整数 N 和 M
要求计算 Concatenate (1 … N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 …N)是将所有正整数 1, 2, …, N 顺序连接起来得到的数。
例如，N = 13, Concatenate (1 … N)=12345678910111213.小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，
于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。
Input
只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，
$1≤N≤10^{18}$ 且 $1≤M≤10^9$ .

Output
仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 … N) Mod M 的值。

Sample Input
13 13
Sample Output
4

分析：
设 $f [i] = C o n c a t e n a t e (1 . . i)$
则 $f[i]=f[i-1]*10^{len}+i$ ，其中 $l e n$ 为 $i$ 的位数。
考虑矩阵递推。首先至少有 $f [i - 1]$ 和 $i$ 这两个项，然后发现不能实现对 $i$ 的递推，还要加一个常数项。
所以，
$(f[i−1]i1)∗(10len00110011)=(f[i]i+11)\begin{pmatrix} f[i-1] & i & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}10^{len} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f[i] & i+1 & 1 \end{pmatrix}$
因为不同位数的数矩阵不同，所以要分段计算。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 2326
    User: ypxrain
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:52 ms
    Memory:1292 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
 
using namespace std;
 
LL n,m,k,num,x,last;
 
struct matrix{
    int n,m;
    LL a[4][4];
}A,B,C;
 
matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    c.n=a.n,c.m=b.m;
    for (int i=0;i<=c.n;i++)
    {
        for (int j=0;j<=c.m;j++) c.a[i][j]=0;
    }
    for (int k=1;k<=a.m;k++)
    {
        for (int i=1;i<=a.n;i++)
        {
            for (int j=1;j<=b.m;j++)
            {
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%m)%m;
            }
        }
    }
    return c;
}
 
void power(LL k)
{
    if (k==1)
    {
        B=A;
        return;
    }
    power(k/2);
    B=B*B;
    if (k&1) B=B*A;
}
 
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);    
    C.n=1,C.m=3;
    C.a[1][1]=0,C.a[1][2]=1,C.a[1][3]=1;
    num=1;
    x=last=0;
    while (x<n)
    {
        x=x*10+9;
        if (x>=n) k=n-last;
             else k=x-last;
        last=x;
        num=(num*10)%m;
        A.n=3,A.m=3;
        A.a[1][1]=num,A.a[1][2]=0,A.a[1][3]=0;
        A.a[2][1]=1,A.a[2][2]=1,A.a[2][3]=0;
        A.a[3][1]=0,A.a[3][2]=1,A.a[3][3]=1;
        power(k);
        C=C*B;
    }
    printf("%lld\n",C.a[1][1]);
}