CF340E Iahub and Permutations dp

最新推荐文章于 2021-05-03 22:54:55 发布

原创最新推荐文章于 2021-05-03 22:54:55 发布 · 251 阅读

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本文探讨了如何解决带有特定约束条件的排列问题——错排问题，并提供了一种有效的算法实现方式。通过将排列分为两类，文章详细解释了如何计算满足条件的不同排列数量，并给出了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意
有一个长度为n的排列a，其中有一些位置被替换成了 $-1$ 。你需要尝试恢复这个排列，将 $-1$ 替换回数字。求多少种可行方案使得得到的是一个排列且不存在 $a_i=i$ 的位置。答案 $mod\ 10^9+7$ 。

分析：
我们把数分为两类，第一类是 $a_i=-1$ 且 $i$ 在其他位置没有出现过，第二类是 $a_i=-1$ 且 $i$ 在其他位置出现过。对于第二种位置就相当于随便放，对于第一种位置就相当于错排。我们设 $x$ 为第二类位置的个数， $y$ 为第一类位置的个数。

我们考虑怎样构造错排序列，首先设 $f[i]$ 为前 $i$ 个数字的错排方案，当然不能放在 $i$ 号位。则在前 $i-1$ 个数中选择一个数 $k$ ，有两种方案。第一种是 $i$ 与 $k$ 调换，相当于对剩下 $i-2$ 个数错排，即方案数为 $f[i-2]$ ；第二种是 $k$ 放在不在 $k$ 的任意位置，即 $f[i-1]$ 种方案。有

f [i] = (i - 1) * (f [i - 1] + f [i - 2])

$f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])$
对于这一题，第

ii $i$ 个位置不仅能放

i

$i$ 还能放那

xx $x$ 个数，因为这

x

$x$ 个数可以随意放，也就是在

i−1i−1 $i-1$ 长度的错排后面加任意一个数，方案数为

f[i−1]∗xf[i−1]∗x $f[i-1]*x$ ，把这两个加起来就是答案。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL mod=1e9+7;
const int maxn=2007;

using namespace std;

LL n,x,y;
LL a[maxn],f[maxn];

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (LL i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);  
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        if (a[i]!=-1)
        {
            if (a[a[i]]==-1)
            {
                x++;
            }
        } 
        else y++;
    }
    y-=x;
    f[0]=1; 
    for (LL i=2;i<=x;i++)
    {
        f[0]=(f[0]*i)%mod;
    }
    for (LL i=1;i<=y;i++)
    {
        f[i]=(f[i]+(i-1)*f[i-1]%mod)%mod;
        if (i>=2) f[i]=(f[i]+(i-1)*f[i-2]%mod)%mod;
        f[i]=(f[i]+x*f[i-1]%mod)%mod;
    }
    printf("%lld",f[y]);
}