[Codeforces 340E] Iahub and Permutations (容斥)_codeforces 340e iahub and permutations 容斥-优快云博客

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本文详细解析了一道关于排列组合的算法题目，核心是求解特定条件下的错排方案数。通过对错排公式进行容斥原理分析，并给出了具体的实现代码。

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这个340E竟然是340e，让人觉得很诡异。。。

稍微分析一下就可以发现这题本质是求 $s$ 个数排列，有 $q$ 个数可以随便排，其余错排的方案数。

回忆一下，我们证明错排通项公式的时候是怎么容斥的，其实这题也差不多。
就是总方案数 - 1个在原来位置上的方案数 + 2个在原来位置上的方案数 - 3个在原来位置上的方案数……
具体来说，有 $i$ 个在原来位置上的方案数，就是先在要错排的数里选 $i$ 个放在原来的位置上，其余的数乱排。

写得好看一点就是

s! - \sum i = 1 s - q (- 1) i \times (s - q i) \times (s - i)!

$s!-\sum_{i=1}^{s-q}(-1)^i\times{s-q \choose i}\times(s-i)!$

具体实现看代码吧，不过我的代码比较奇怪， ${i \choose j}$ 其实是 $c[i+1][j+1]$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2001;
const int p=1e9+7;
int n,a[N],s,q,b[N];
LL mul[N],P[N],C[N][N],ans;

void read(int &x){
    char ch=getchar();x=0;int w=1;
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') w=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    x*=w;
}

int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        read(a[i]);
        if (a[i]==-1) s++;
         else b[a[i]]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if (b[i]&&a[i]==-1) q++;

    mul[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) mul[i]=mul[i-1]*i%p;
    /*P[0]=1;P[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) P[i]=(n-1)*(P[i-1]+P[i-2])%p;*/
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
     for(int j=1;j<=n+1;j++)
      C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%p;

    ans=mul[s];int w=1;
    for(int i=1;i<=s-q;i++){
        w*=-1;
        ans=(ans+w*C[s-q+1][i+1]*mul[s-i]%p)%p;
    }

    cout<<(ans+p)%p;
    return 0;
}