有关排列的dp题目

1

有一个长度为 $n$ 的排列 $a$，其中有一些位置被替换成了 -1。你需要尝试恢复这个排列，将 -1 替换回数字。求有多少种可行的替换方法，满足得到的是一个排列，且不存在 $a_i=i$ 的。
$n\le 5000$

前置技巧：一个每行、每列只有一个棋子的棋盘，任意交换行列，得到的棋盘每行、每列只有一个棋子。

在序列里填排列，某些位置有限制。想到把问题转化为在 $n\ast n$ 的棋盘上填放棋子，对角线不能放，有些格子已经放了。我们把已经放石子的行、列删除，就变成了在一个棋盘上有若干个点不能放，且每行每列最多只有一个限制。容易发现我们并不关心限制的位置，因此可以强制通过行列交换使得限制为对角线上的一个前缀。设 $f[i][j]$ 表示 $i\ast i$ 的棋盘里有 $j$ 个限制的方案数，那么考虑 $f[i][j]$ 比 $f[i][j-1]$ 少了那些状态，就是那些 $(j,j)$ 放了石子的状态。因此 $f[i][j]=f[i][j-1]-f[i-1][j-1]$。

2

给定自然数n、k、x，你要求出第k小的长度为n的逆序对对数为x的1~n的排列。

考虑逐位确定这个排列。假设 $1\dots i-1$ 都已经填好，我们要确定第 $i$ 个数填什么。枚举一个数 $j$，我们想要知道如果这一位填 $\le j$ 的数后面随便填的合法排列数量记为 $su{m}_j$，如果 $su{m}_j<k$ 并且 $su{m}_{j+1}\ge k$，那么这一位就填 $j$。

发现枚举了一个数以后已经填数的部分逆序对数已知，我们要求的就是“ $i$ 个数的排列里逆序对数量为 $j$ 的有多少个”。显然可以 dp 出来。