Codeforces 340E Iahub and Permutations【思维+错排Dp】

最新推荐文章于 2021-05-03 22:54:55 发布

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#Codeforces 340E

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本文探讨了一个典型的错排问题，通过动态规划方法解决了一项挑战性的编程任务。任务要求在给定部分缺失的排列中，寻找所有可能的排列方式，确保每个位置的数值都不等于其索引值。

Iahub is so happy about inventing bubble sort graphs that he's staying all day long at the office and writing permutations. Iahubina is angry that she is no more important for Iahub. When Iahub goes away, Iahubina comes to his office and sabotage his research work.

The girl finds an important permutation for the research. The permutation contains n distinct integers a₁, a₂, ..., a_n (1 ≤ a_i ≤ n). She replaces some of permutation elements with -1 value as a revenge.

When Iahub finds out his important permutation is broken, he tries to recover it. The only thing he remembers about the permutation is it didn't have any fixed point. A fixed point for a permutation is an element a_k which has value equal to k (a_k = k). Your job is to proof to Iahub that trying to recover it is not a good idea. Output the number of permutations which could be originally Iahub's important permutation, modulo 1000000007 (10⁹ + 7).

Input

The first line contains integer n (2 ≤ n ≤ 2000). On the second line, there are n integers, representing Iahub's important permutation after Iahubina replaces some values with -1.

It's guaranteed that there are no fixed points in the given permutation. Also, the given sequence contains at least two numbers -1 and each positive number occurs in the sequence at most once. It's guaranteed that there is at least one suitable permutation.

Output

Output a single integer, the number of ways Iahub could recover his permutation, modulo 1000000007 (10⁹ + 7).

Examples

Input

5
-1 -1 4 3 -1

Output

Note

For the first test example there are two permutations with no fixed points are [2, 5, 4, 3, 1] and [5, 1, 4, 3, 2]. Any other permutation would have at least one fixed point.

题目大意：

给你N个数，我们需要将所有的-1放置【1~N】中的一个数，使得最终是一个包含1~N所有元素的全排列，并且a【i】！=i；

思路：

很显然这是一个错排模型。

Hdu 2049就是这么一些个类型题。http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049

一、

求错排的方式是动态规划的去递推。

设定dp【i】表示的是已经错排了i个位子的方案数。

转移有两种方案：

我们把第i个元素放在位子k上。共有i-1种选择。

1.位子k上的元素放在位子i上，那么dp【i】=dp【i-2】*（i-1）；

2.位子k上的元素不放在位子i上，那么dp【i】=dp【i-1】*（i-1）；那么再接下来的下一步，第i个元素就相当于这个位子k上的元素了。

综上：dp【i】=（i-1）*（dp【i-1】+dp【i-2】）；

二、那么回归这个问题上来。

①我们规定，一个位子上如果a【i】==-1&&数字i有填写过，那么这个位子我们设定为没有限制的位子。个数设定为x

②我们规定，一个位子上如果a【i】==-1&&数字i没有填写过。那么这个位子我们设定为有限制的位子。个数设定为y

③我们一开始先将没有限制的位子填好，如果存在x个位子，使得a【i】==-1&&数字i填写过，那么对应我们就有x个数字来填写这x个-1的位子。

那么一开始将这些没有限制的位子填好就有x！种方案。

④接下来设定dp【i】，也表示错排了i个元素的方案数。

那么dp【0】=x！.

同理对于错排有限制的位子上的转移就有：dp【i】=（i-1）*（dp【i-1】+dp【i-2】）；

那么我们还可以使用无限制的位子上的元素来替换：dp【i】=x*dp【i-1】；

都是可行方案，那么过程维护统计一下即可。

Ac代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define ll __int64
int a[15000];
ll dp[150000];
const ll mod=1e9+7;
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        int tot=0;
        int x=0;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            if(a[i]==-1)tot++;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(a[i]!=-1)
            {
                if(a[a[i]]==-1)x++;
            }
        }
        int y=tot-x;
        dp[0]=1;
        for(ll i=1;i<=x;i++)
        {
            dp[0]*=i;
            dp[0]%=mod;
        }
        for(int i=1;i<=y;i++)
        {
            if(i-1>=0)dp[i]+=dp[i-1]*(i-1);
            if(i-1>=0)dp[i]+=x*dp[i-1];
            if(i-2>=0)dp[i]+=dp[i-2]*(i-1);
            dp[i]%=mod;
        }
        printf("%I64d\n",dp[y]);
    }
}