子序列权值乘积（数学）

传送门

由高中知识可得，对于一个拥有 $n$ 个元素的集合，其非空子集的数量为 $2^n-1$ ，本题考虑采用对原数组进行排序后，枚举每一个元素作为最小值及最大值的贡献次数，并进行累加。

对于排序后的数组，任取一个元素 $a$ ，且包括自身及之后共有 $k$ 个元素时，共能得到 $2^{k-1}$ 个包括自身的子集，且在这些子集中，最小值一定为该元素 $a$。由此可得第 $i$ 个元素的最小值的贡献为：$a_i^{(2^{n-i})}$ 。

同理可得，对于任一元素，当包括自身及之前共有 $k$ 个元素时，其作为最大值的次数为 $2^{k-1}$，因此第 $i$ 个元素的最大值的贡献为：$a_i^{(2^{i-1}-1)}$ ，最终贡献式为：$a_i^{(2^{n-i}+2^{i-1})}$ 。

然而，由于最后 $a_i$ 的指数实在太大，因此需要采用费马小定理将指数对 $mod-1$ 取模。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10,mod=1e9+7;
int a[N];
//2^(n−i)+2^(i−1)
int qsm(int a,int k,int mo=mod){ 
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=res*a%mo;
        a=a*a%mo;
        k/=2;
    }
    return res;
}

signed main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    int sum=0,ans=1,pow;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=ans*qsm(a[i],qsm(2,i-1,mod-1))%mod;
        ans=ans*qsm(a[i],qsm(2,n-i,mod-1))%mod;
    }
    
    cout<<ans%mod;
    return 0;
}