Yet Another Minimization Problem（cf1637D）数学+dp

传送门

题意

给定两个数组 $a$，$b$ 并可进行若干次操作，每次操作可取任意数 $i$ 并将 $a_i$ 与 $b_i$ 交换，问最终可取得的

$\sum _{i=1}^n$$\sum _{j=i+1}^n[(a_i+a_j{)}^2+(b_i+b_j{)}^2]$ 的最小值为多少。

分析

首先对该公式进行化简，可以发现其中 $(n-2)\ast \sum _{i=1}^n[a_i^2+b_i^2]$ 为固定值，因此本题实质为使 $su{m}_a^2+su{m}_b^2$ 取最小值。

令 $sum$ 为 $su{m}_a+su{m}_b$ ，$dp[i][j]==1$ 表示对于前 $i$ 个数可以组合出和为 $j$ 的一种方案，最后遍历 $dp[n][0-sum]$ ，找出贡献的最小值。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n;
int a[110],b[110],dp[110][10010];
int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		memset(dp,0,sizeof dp);
		cin>>n;int ans=0,sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
			sum+=a[i];
			ans+=(n-2)*a[i]*a[i];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>b[i];
			sum+=b[i];
			ans+=(n-2)*b[i]*b[i];//ans中此时存的为固定的贡献值
		}
		dp[0][0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=0;j<=sum;j++){
				if(j>=a[i])
					if(dp[i-1][j-a[i]])
						dp[i][j]=1;//对于前i个数 存在可以组合成和为j的方案
				if(j>=b[i])
					if(dp[i-1][j-b[i]])
						dp[i][j]=1;
			}
		}
		int res=1e9;
		for(int i=0;i<=sum;i++)
			if(dp[n][i])
				res=min(res,i*i+(sum-i)*(sum-i));//i*i为sum_a,（sum-i）*（sum-i）为sum_b
		cout<<ans+res<<endl;
	}
	return 0;
}