58、微扰理论：从基础到应用

微扰理论：从基础到应用

1. 非简并能级的一阶微扰

在量子力学中，微扰理论是一种重要的近似方法，用于处理难以精确求解的问题。当一个粒子处于一维势阱 (0 < x < L) 中，并受到小势 (V(x) = V_0 \cos(\frac{\pi x}{L})\theta(\frac{L}{2} - x)) 的微扰时，我们可以计算其能级的一阶修正。

已知未受微扰的波函数为 (\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{n\pi x}{L}))，则一阶修正能量 (E’_n) 可通过以下积分得到：
[E’_n = \frac{2V_0}{L} \int_0^{\frac{L}{2}} dx \sin^2(\frac{n\pi x}{L}) \cos(\frac{\pi x}{L}) = \frac{2V_0}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} dt \sin^2(nt) \cos(t)]

当 (n = 1) 时：
[E’_1 = \frac{2V_0}{3\pi}]

当 (n = 2) 时：
[E’_2 = \frac{8V_0}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} d(t) \sin^2(t) \cos^3(t)]
通过对 (d\sin(t)) 进行积分，可得：
[E’_2 = \frac{8V_0}{\pi} \int_0^1 dx (x^2 - x^4) = \frac{16V_0}{15\pi}]

2. 简并能级的微扰理论

对于简并能级，情况会更加复杂。设本征值 (E_n^{(0)}) 是