后轴反馈控制——frenet坐标的一个应用

0. 参考文献

前置：
【１】https://blog.youkuaiyun.com/l898985121/article/details/109048855
这个是之前写的一篇文章，讲了frenet坐标的推导过程
【２】https://blog.youkuaiyun.com/l898985121/article/details/115702160
前面写的关于李雅普诺夫稳定的一篇转载文章
参考：
【３】https://zhuanlan.zhihu.com/p/46377932
【3.1】https://arxiv.org/abs/1604.07446
这个是横向控制综述，看里面的后轴反馈方法
【４】https://github.com/AtsushiSakai/PythonRobotics/blob/master/PathTracking/rear_wheel_feedback/rear_wheel_feedback.py
这个是后轴反馈控制的python代码

1. 简单推导

1.1 frenet 坐标

长成这个样子：

从这个当中，我们选择后面两行，构成一个非线性的系统方程，系统的状态量是横向偏差$e$和航向角偏差${\psi }_e$。我们可以控制的输入是$\omega$。
当然也可以选择其他的状态量当做系统方程，这个在后文答案二中讨论

1.2 笔者的思路

然后，采用李雅普诺夫第二方法，寻找一个状态量的方程$V(x\text{x}x)$，也就是$V(e,{\psi }_e)$，满足三个条件，就能得到一个渐进稳定的系统，为了满足这三个条件，我们需要设计$\omega$。

我们选择的一个李雅普诺夫函数如下：
$$V(e,{\psi }_e)=e^2+{\psi }_e^2$$
求导得到：
$$\dot{V}=2e\dot{e}+2{\psi }_e{\dot{\psi }}_e$$
将上面的状态方程带入，得到：
$$\dot{V}=2e{v}_r\sin ({\psi }_e)+2{\psi }_e(\omega -\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e})$$
观察上面这个式子，如何设计一个$\omega$，使得这个式子小于０（系统渐进稳定）。

后续：这里其实确实可以瞎J设计，只要稳定就行，然后通过添加奇怪的系数k，可以进一步控制系统收敛的过程。

下面让我们先看几个答案

1.3 答案一

来自《A Survey of Motion Planning and Control Techniques for Self-driving Urban Vehicles》这篇文章
选择李雅普诺夫函数为：
$$V(e,{\psi }_e)=e^2+\frac{{\psi }_e^2}{k_e}$$
求导得到：
$$\dot{V}=2e\dot{e}+\frac{2{\psi }_e{\dot{\psi }}_e}{k_e}$$
将frenet坐标代入得到：
$$\dot{V}=2e{v}_r\sin ({\psi }_e)+\frac{2{\psi }_e}{k_e}(\omega -\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e})$$
同样思路，设计一个$\omega$，使得上面的$\dot{V}$小于0。

论文中设计好了一个，我们看一下：
$$\omega =\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e}-(k_t\Vert v_r\Vert ){\psi }_e-(k_e{v}_r\frac{\sin ({\psi }_e)}{{\psi }_e})e$$
将这个$\omega$代入到上面的$\dot{V}$，消去分数项，有：
$$\dot{V}=2e{v}_r\sin ({\psi }_e)+\frac{2{\psi }_e}{k_e}(-(k_t\Vert v_r\Vert ){\psi }_e-(k_e{v}_r\frac{\sin ({\psi }_e)}{{\psi }_e})e)$$
化简可得：
$$\dot{V}=-k_{\theta }\Vert v_r\Vert {\psi }_e^2$$
这个在有偏差时，小于0。
说明选择的$\omega$能让系统李雅普诺夫稳定

1.4 答案二

我们看frenet坐标的第二个式子
$$\dot{e}=v_r\sin ({\psi }_e)$$
求导：
$$\ddot{e}=v_r\cos ({\psi }_e)\dot{{\psi }_e}$$
将frenet坐标第三行代入上式，有：
$$\ddot{e}=v_r\cos ({\psi }_e)(\omega -\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e})$$
我们分析如下系统方程：
$$\begin{array}{rl}\dot{e}& =v_r\sin ({\psi }_e)\\ \ddot{e}& =v_r\cos ({\psi }_e)(\omega -\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e})\end{array}$$
构造李雅普诺夫函数：
$$V=k_0{e}^2+{\dot{e}}^2$$
求导：
$$\dot{V}=2k_{0}e\dot{e}+2\dot{e}\ddot{e}$$
将状态方程代入，得到：
$$\dot{V}=2k_{0}e{v}_r\sin ({\psi }_e)+2v_r\sin ({\psi }_e)v_r\cos ({\psi }_e)(\omega -\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e})$$
设计一个$\omega$使得$\dot{V}$小于0，

我们先来看一个神奇设计方法，设计$\omega$如下。
$$\begin{array}{rl}\omega & =\frac{\eta }{v_r\cos ({\psi }_e)}+\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e}\\ & =\frac{-k_{0}e-k_1\dot{e}}{v_r\cos ({\psi }_e)}+\frac{v_r\kappa \cos ({\psi }_e)}{1-\kappa e}\end{array}$$

把设计好的$\omega$代入上式$\dot{V}$，可得：
$$\dot{V}=2v_r\sin ({\psi }_e)(-k_1\dot{e})$$
下面这段注意分析错了，上面这个公式还差最后一步化简
不一定＜0，说明不是这个李雅普诺夫函数下的稳定，但不表示不稳定。
$$\dot{V}=2v_r\sin ({\psi }_e)(-k_1\dot{e})=2v_r\sin ({\psi }_e)(-k_1{v}_r\sin ({\psi }_e))$$
也是小于零的，所以李雅普诺夫稳定。

1.5 总结

从上面两个答案可以看出：
（1）选择不同的系统方程，和最终不同的$\dot{V}$的形式，可以得到不同的$\omega$设计形式，这些不同的形式都可以使系统李雅普诺夫稳定。
（2）得到${\omega }_d$后，再考虑如何通过车辆方向盘转角进行控制，使得车辆实际的$\omega$趋近于${\omega }_d$，可以选择前馈加反馈的形式，前馈就是那个artctan（wL/R）之类的式子，反馈就是pid就行。如下图：

（3）可以看出上面的式子是运动学下的模型，在高速下，理论上也应该能成立，也就是说，在高速下可以用同样的方式求出${\omega }_d$，并且如果车辆能以${\omega }_d$进行运动，一定可以按照设计的方式进行收敛；
但通常情况下，高速会出现误差，也就是说是车辆的实际$\omega$控制的有问题，可以从后面开始考虑。

2. 代码注释

这里看的python robotics中的rear wheel feedback control部分的代码

"""
Path tracking simulation with rear wheel feedback steering control and PID speed control.
author: Atsushi Sakai(@Atsushi_twi)
"""
# 这里是import一些库
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np

from scipy import interpolate
from scipy import optimize

Kp = 1.0  # speed propotional gain
# steering control parameter
KTH = 1.0 # 这个就是k_theta
KE = 0.5 # 这个就是k_e

dt = 0.1  # [s]
L = 2.9  # [m]

show_animation = True

class State:
    def __init__(self, x=0.0, y=0.0, yaw=0.0, v=0.0, direction=1):
        self.x = x
        self.y = y
        self.yaw = yaw
        self.v = v
        self.direction = direction

    def update(self, a, delta, dt):
        self.x   = self.x + self.v * math.cos(self.yaw) * dt
        self.y   = self.y + self.v * math.sin(self.yaw) * dt
        self.yaw = self.yaw + self.v / L * math.tan(delta) * dt
        self.v   = self.v + a * dt

class CubicSplinePath:
    def __init__(self, x, y):
        x, y = map(np.asarray, (x, y))
        s = np.append([0],(np.cumsum(np.diff(x)**2) + np.cumsum(np.diff(y)**2))**0.5)

        self.X = interpolate.CubicSpline(s, x)
        self.Y = interpolate.CubicSpline(s, y)

        self.dX = self.X.derivative(1)
        self.ddX = self.X.derivative(2)

        self.dY = self.Y.derivative(1)
        self.ddY = self.Y.derivative(2)

        self.length = s[-1]
    
    def calc_yaw(self, s):
        dx, dy = self.dX(s), self.dY(s)
        return np.arctan2(dy, dx)
    
    def calc_curvature(self, s):
        dx, dy   = self.dX(s), self.dY(s)
        ddx, ddy   = self.ddX(s), self.ddY(s)
        return (ddy * dx - ddx * dy) / ((dx ** 2 + dy ** 2)**(3 / 2))
    
    def __find_nearest_point(self, s0, x, y):
        def calc_distance(_s, *args):
            _x, _y= self.X(_s), self.Y(_s)
            return (_x - args[0])**2 + (_y - args[1])**2
        
        def calc_distance_jacobian(_s, *args):
            _x, _y = self.X(_s), self.Y(_s)
            _dx, _dy = self.dX(_s), self.dY(_s)
            return 2*_dx*(_x - args[0])+2*_dy*(_y-args[1])

        minimum = optimize.fmin_cg(calc_distance, s0, calc_distance_jacobian, args=(x, y), full_output=True, disp=False)
        return minimum

	# 这个是计算跟踪的误差
    def calc_track_error(self, x, y, s0): # 输入是车辆的坐标和航向角
    	# 先找到最近点
        ret = self.__find_nearest_point(s0, x, y)
        
        s = ret[0][0]
        e = ret[1]

        k   = self.calc_curvature(s)
        yaw = self.calc_yaw(s)

        dxl = self.X(s) - x
        dyl = self.Y(s) - y
        angle = pi_2_pi(yaw - math.atan2(dyl, dxl))
        if angle < 0:
            e*= -1

        return e, k, yaw, s
# 简单的pid控制
def pid_control(target, current):
    a = Kp * (target - current)
    return a

def pi_2_pi(angle):
    while(angle > math.pi):
        angle = angle - 2.0 * math.pi

    while(angle < -math.pi):
        angle = angle + 2.0 * math.pi

    return angle

def rear_wheel_feedback_control(state, e, k, yaw_ref):
    v = state.v
    th_e = pi_2_pi(state.yaw - yaw_ref)

	# 就是这儿，直接按照公式进行计算，原封不动的计算，算出omega就行
    omega = v * k * math.cos(th_e) / (1.0 - k * e) - \
        KTH * abs(v) * th_e - KE * v * math.sin(th_e) * e / th_e

    if th_e == 0.0 or omega == 0.0:
        return 0.0

    delta = math.atan2(L * omega / v, 1.0)

    return delta

# 这里是仿真函数
def simulate(path_ref, goal):
    T = 500.0  # max simulation time 最大仿真时间
    goal_dis = 0.3 # 这个是啥

    state = State(x=-0.0, y=-0.0, yaw=0.0, v=0.0) # 这个应该是个初始状态
	
	# 初始时间是零
    time = 0.0
    x = [state.x] # 初始的x
    y = [state.y] # 初始的y
    yaw = [state.yaw] # 初始的航向角，沿着x轴方向
    v = [state.v] # 初始的车速 = 0
    t = [0.0] # 构造一个列表
    goal_flag = False # 是否到达终点？

    s = np.arange(0, path_ref.length, 0.1) # 用0.1的间隔进行离散，在main里面离散过了，但那个是用来显示
    # 这个用来计算初始情况下的一个error
    e, k, yaw_ref, s0 = path_ref.calc_track_error(state.x, state.y, 0.0)

	# 开始循环
    while T >= time:
    
     	# 在每个循环的开始处计算一下error
        e, k, yaw_ref, s0 = path_ref.calc_track_error(state.x, state.y, s0)

		# 然后计算一下控制量？这里是横向
        di = rear_wheel_feedback_control(state, e, k, yaw_ref)

		# 计算一下参考速度
        speed_ref = calc_target_speed(state, yaw_ref)
        # 这里是纵向
        ai = pid_control(speed_ref, state.v)
        # 更新一下状态，这个位置其实就是仿真的车辆模型，用了一个dr进行积分
        state.update(ai, di, dt)
		# 每个时间间隔进行更新
        time = time + dt

        # check goal 检查是否到达目标位置
        dx = state.x - goal[0]
        dy = state.y - goal[1]
        # 如果到达了就退出，并把flag 设置一下
        if math.hypot(dx, dy) <= goal_dis:
            print("Goal")
            goal_flag = True
            break
		
		# 进行一下记录
        x.append(state.x)
        y.append(state.y)
        yaw.append(state.yaw)
        v.append(state.v)
        t.append(time)
		
		# 显示
        if show_animation:
            plt.cla()
            # for stopping simulation with the esc key.
            plt.gcf().canvas.mpl_connect('key_release_event',
                    lambda event: [exit(0) if event.key == 'escape' else None])
            plt.plot(path_ref.X(s), path_ref.Y(s), "-r", label="course")
            plt.plot(x, y, "ob", label="trajectory")
            plt.plot(path_ref.X(s0), path_ref.Y(s0), "xg", label="target")
            plt.axis("equal")
            plt.grid(True)
            plt.title("speed[km/h]:{:.2f}, target s-param:{:.2f}".format(round(state.v * 3.6, 2), s0))
            plt.pause(0.0001)

    return t, x, y, yaw, v, goal_flag

def calc_target_speed(state, yaw_ref):
    target_speed = 10.0 / 3.6

    dyaw = yaw_ref - state.yaw
    switch = math.pi / 4.0 <= dyaw < math.pi / 2.0

    if switch:
        state.direction *= -1
        return 0.0
    
    if state.direction != 1:
        return -target_speed

    return target_speed

def main():
    print("rear wheel feedback tracking start!!")
    # 这个是样条曲线的一些控制点，ax是横坐标，ay是纵坐标
    # 目标点就是ax和ay的最后一个点。
    ax = [0.0, 6.0, 12.5, 5.0, 7.5, 3.0, -1.0]
    ay = [0.0, 0.0, 5.0, 6.5, 3.0, 5.0, -2.0]
    goal = [ax[-1], ay[-1]]

    # 这里是计算参考线三次样条曲线
    reference_path = CubicSplinePath(ax, ay)
    # 这里对曲线长度进行等分，每一份长度0.1
    s = np.arange(0, reference_path.length, 0.1)
	# 这里进行仿真
    t, x, y, yaw, v, goal_flag = simulate(reference_path, goal)

    # Test
    assert goal_flag, "Cannot goal"
	# 这里是一些显示
    if show_animation:  # pragma: no cover
        plt.close()
        plt.subplots(1)
        plt.plot(ax, ay, "xb", label="input")
        plt.plot(reference_path.X(s), reference_path.Y(s), "-r", label="spline")
        plt.plot(x, y, "-g", label="tracking")
        plt.grid(True)
        plt.axis("equal")
        plt.xlabel("x[m]")
        plt.ylabel("y[m]")
        plt.legend()

        plt.subplots(1)
        plt.plot(s, np.rad2deg(reference_path.calc_yaw(s)), "-r", label="yaw")
        plt.grid(True)
        plt.legend()
        plt.xlabel("line length[m]")
        plt.ylabel("yaw angle[deg]")

        plt.subplots(1)
        plt.plot(s, reference_path.calc_curvature(s), "-r", label="curvature")
        plt.grid(True)
        plt.legend()
        plt.xlabel("line length[m]")
        plt.ylabel("curvature [1/m]")

        plt.show()

if __name__ == '__main__':
    main()