Frenet坐标推导过程整理

1. 一些基础知识

这些是我在阅读相关文献时遇到的一些基本问题，在这里列出重点

1.1 对向量求导/点的相对运动

这里主要参考理论力学教材

Engineering_Mechanics_Dynamics_(13th_Edition) 第16.8小结

有两个坐标系，全局坐标系OXY，局部坐标系oxy。局部坐标系原点为A，自由运动点B。B可以表示在全局或者局部坐标系下，从图中根据向量关系有：
$${\vec{r}}_B={\vec{r}}_A+{\vec{r}}_{B/A}\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中：
$${\vec{r}}_{B/A}=x_B\mathbf{i}+y_B\mathbf{j}\text{\hspace{1em}(2)}$$
式中：$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$分别是沿x，y轴的单位向量在坐标系OXY下的表示，$x_B$，$y_B$分别是在oxy坐标系下的横纵坐标值。

公式两边分别对时间t求导可得：
$${\vec{v}}_B={\vec{v}}_A+\frac{d{\vec{r}}_{B/A}}{dt}\text{\hspace{1em}(3)}$$
式中：
$$\begin{array}{rl}\frac{d{\vec{r}}_{B/A}}{dt}& =\frac{d(x_B\mathbf{i}+y_B\mathbf{j})}{dt}\\ & =\frac{d{x}_B}{dt}\mathbf{i}+x_B\frac{d\mathbf{i}}{dt}+\frac{d{y}_B}{dt}\mathbf{j}+y_B\frac{d\mathbf{j}}{dt}\\ & =(\frac{d{x}_B}{dt}\mathbf{i}+\frac{d{y}_B}{dt}\mathbf{j})+(x_B\frac{d\mathbf{i}}{dt}+y_B\frac{d\mathbf{j}}{dt})\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
式中最后一行第一个括号中是B点相对于坐标系oxy的速度分量描述，第二个括号中是在全局坐标系OXY下观测到的oxy的旋转引起的速度分量。

下面进一步计算第二个括号中的量，参考下图。

从图中可以看出，单位向量长度是1，因此可以近似的有：
$$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=1\cdot \frac{d\theta }{dt}\cdot \mathbf{j}=\omega \mathbf{j}\text{\hspace{1em}(5)}$$
同理有：
$$\frac{d\mathbf{j}}{dt}=-1\cdot \frac{d\theta }{dt}\cdot \mathbf{i}=-\omega \mathbf{i}\text{\hspace{1em}(6)}$$

1.2 切线法线和曲率的关系

这一部分的内容主要参考如下两篇博客

1.https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Vector_Calculus/2%3A_Vector-Valued_Functions_and_Motion_in_Space/2.3%3A_Curvature_and_Normal_Vectors_of_a_Curve
2.http://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node23.html

首先有切线的定义：
$$\vec{T}=\frac{d\vec{r}}{dt}\text{\hspace{1em}(7)}$$
求切线的单位向量，这里求成单位向量的原因猜测：从单位时间内改变量这一角度，有可能无法进行前后比较去求得法线，只有对单位向量求微分才能获得法线。以下将$\dot{()}$看作对时间t求导，将$({)}^{\prime }$看作对距离s求导。单位切线向量：
$$\hat{T}=\frac{d\vec{r}/dt}{\Vert d\vec{r}/dt\Vert }=\frac{d\vec{r}/dt}{ds/dt}=\frac{d\vec{r}}{ds}={\vec{r}}^{\prime }\text{\hspace{1em}(8)}$$
由于单位向量自身点成为1：
$$\hat{T}\cdot \hat{T}=1\text{\hspace{1em}(9)}$$
两边对s求导，有：
$${\vec{r}}^{\prime }\cdot {\vec{r}}^{\prime \prime }=0\text{\hspace{1em}(10)}$$
上式表明${\vec{r}}^{\prime \prime }$是法向量，注意这里：单位切向量的变化量是法向量，但不一定是单位法向量，比如下图

从图中可以看出，当${\vec{r}}^{\prime }$在前后两个时刻变化很小时，会导致形成的差向量特别小，也就是曲率特别小，近似一条直线，利用这个原理，可以求曲率。从上图及导数定义有：
$${\vec{r}}^{\prime \prime }=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{{\vec{r}}^{\prime }(s+\Delta s)-{\vec{r}}^{\prime }(s)}{\Delta s}\text{\hspace{1em}(11)}$$
以及：
$$\Vert {\vec{r}}^{\prime \prime }\Vert =\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{\Vert {\vec{r}}^{\prime }(s+\Delta s)-{\vec{r}}^{\prime }(s)\Vert }{\Delta s}\text{\hspace{1em}(12)}$$
式中：
$$\Vert {\vec{r}}^{\prime }(s+\Delta s)-{\vec{r}}^{\prime }(s)\Vert =1\cdot \Delta \theta \text{\hspace{1em}(13)}$$
并且：
$$\Delta s=\rho \cdot \Delta \theta \text{\hspace{1em}(14)}$$
将式（12）化简可得
$$\Vert {\vec{r}}^{\prime \prime }\Vert =\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\Delta s}=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\rho \cdot \Delta \theta }=1/\rho =\kappa \text{\hspace{1em}(15)}$$

2. Frenet坐标推导过程

推导过程参考了博客：

https://blog.youkuaiyun.com/davidhopper/article/details/79162385

考虑下图设定：

2.1 求解 $\dot{l}$ 和 $\dot{s}$

参照上文所述理论力学公式部分（1）（2）（3）（4）有：
$$\vec{x}=\vec{r}+l(s)\cdot {\vec{N}}_r\text{\hspace{1em}(16)}$$
对公式两边求导获得速度关系：
$$\dot{\vec{x}}=\dot{\vec{r}}+\dot{l}(s)\cdot {\vec{N}}_r+l(s)\cdot {\dot{\vec{N}}}_r\text{\hspace{1em}(17)}$$
下面进行逐项替换，$\dot{\vec{r}}$等于速度大小乘以速度方向，有下式
$$\dot{\vec{r}}=\dot{s}\cdot {\vec{T}}_r\text{\hspace{1em}(18)}$$
根据上文公式（6）可以得到：
$${\dot{\vec{N}}}_r=-\omega \cdot {\vec{T}}_r=-\dot{s}\cdot \kappa \cdot {\vec{T}}_r\text{\hspace{1em}(19)}$$
将式（18）（19）带入式（17）可得：
$$\dot{\vec{x}}=\dot{s}{\vec{T}}_r-\dot{s}\kappa l{\vec{T}}_r+\dot{l}{\vec{N}}_r\text{\hspace{1em}(20)}$$
现在目的是求出$\dot{s}$和$\dot{l}$，求解方法时消元，将上式两侧分别向${\vec{T}}_r$和${\vec{N}}_r$方向投影。首先向${\vec{N}}_r$方向投影，等式(20)两侧分别点乘${\vec{N}}_r$，可得：
$$\dot{\vec{x}}{\vec{N}}_r=\dot{l}{\vec{N}}_r{\vec{N}}_r\text{\hspace{1em}(21)}$$
化简可得：
$$\dot{l}=v\sin (\Delta \theta )\text{\hspace{1em}(22)}$$
再将等式（20）向${\vec{T}}_r$方向投影，可得：
$$\dot{\vec{x}}{\vec{T}}_r=\dot{s}(1-\kappa l){\vec{T}}_r{\vec{T}}_r\text{\hspace{1em}(23)}$$
化简可得：
$$\dot{s}=\frac{v\cos (\Delta \theta )}{1-\kappa l}\text{\hspace{1em}(24)}$$

2.2 求解 $l^{\prime }$

以下接着求解$l^{\prime }$，考虑到
$$\dot{l}=\frac{dl}{dt}=\frac{dl}{ds}\frac{ds}{dt}=\dot{s}\frac{dl}{ds}=\dot{s}{l}^{\prime }\text{\hspace{1em}(25)}$$
代入式（22），可得：
$$\dot{s}{l}^{\prime }=v\sin (\Delta \theta )\text{\hspace{1em}(26)}$$
借助式（24）化简：
$$l^{\prime }=\frac{v}{\dot{s}}\sin (\Delta \theta )=(1-\kappa l)\tan (\Delta \theta )\text{\hspace{1em}(27)}$$

2.3 求解 $l^{\prime \prime }$

进一步求解$l^{\prime \prime }$，将式（27）对弧长s求导，可得：
$$\begin{array}{rl}{l}^{\prime \prime }& =(1-{\kappa }_l{)}^{\prime }\tan (\Delta \theta )+(1-\kappa l){\tan }^{\prime }(\Delta \theta )\\ & =-({\kappa }^{\prime }l+\kappa l^{\prime })\tan (\Delta \theta )+(1-\kappa l)\frac{1}{{\cos }^2(\Delta \theta )}(\Delta \theta {)}^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(28)}$$
利用公式（15）(24)，求解$(\Delta \theta {)}^{\prime }$：
$$\begin{array}{rl}(\Delta \theta {)}^{\prime }& =({\theta }_x-{\theta }_r{)}^{\prime }\\ & =\frac{d{\theta }_x}{ds}-\frac{d{\theta }_r}{ds}\\ & =\frac{d{\theta }_x}{d{s}_x}\frac{d{s}_x}{ds}-{\kappa }_r\\ & =\frac{d{\theta }_x}{d{s}_x}\frac{d{s}_x}{dt}\frac{dt}{ds}-{\kappa }_r\\ & =\frac{{\kappa }_x\cdot v}{\dot{s}}-{\kappa }_r\\ & =\frac{{\kappa }_x(1-{\kappa }_{r}l)}{\cos (\Delta \theta )}-{\kappa }_r\end{array}\text{\hspace{1em}(29)}$$
将式（29）代入式（28），可得：
$$l^{\prime \prime }=-({\kappa }^{\prime }l+\kappa l^{\prime })\tan (\Delta \theta )+(1-\kappa l)\frac{1}{{\cos }^2(\Delta \theta )}(\frac{{\kappa }_x(1-{\kappa }_{r}l)}{\cos (\theta )}-{\kappa }_r)\text{\hspace{1em}(30)}$$

2.4 求解 $a_x={\dot{v}}_x$

根据式（24）可得：
$$v=\frac{\dot{s}(1-\kappa l)}{\cos (\Delta \theta )}$$
两边求导，可以根据式（29）进一步展开：
$$\begin{array}{rl}\dot{v}& =\ddot{s}\frac{1-\kappa l}{\cos (\Delta \theta )}+\dot{s}\frac{d}{ds}(\frac{1-\kappa l}{\cos (\Delta \theta )})\frac{ds}{dt}\\ & =\ddot{s}\frac{1-\kappa l}{\cos (\Delta \theta )}+{\ddot{s}}^2[(1-\kappa l{)}^{\prime }(\frac{1}{\cos (\Delta \theta )})-(1-\kappa l)(\frac{\tan (\Delta \theta )}{\cos (\Delta \theta )}(\Delta \theta {)}^{\prime })]\end{array}$$

到此完成了Frenet坐标转换过程的推导。后续会看看该方法在轨迹规划过程中的应用。