87、线性时间近似离散中心线段与移动群体密度近似研究

线性时间近似离散中心线段与移动群体密度近似研究

在计算几何领域，有两个重要的研究方向值得关注，一是线性时间近似离散中心线段，二是移动群体的密度近似。下面将详细介绍这两个方向的相关内容。

线性时间近似离散中心线段

在解决离散中心线段近似问题时，有一系列的理论和方法。
- 考虑边缘对与顶点网格对 ：从相关引理可知，只需考虑 $O(\frac{1}{\varepsilon_1})$ 对凸包（$CH(\mathcal{P})$）的边缘。对于每对边缘，会考虑四对顶点网格。存在一组 $O(\frac{1}{\varepsilon_1})$ 对顶点网格，从中可以得到 $\mathcal{P}$ 的一个 $(1 + \frac{\varepsilon}{6})$ 近似中心线段，并且该集合可以在 $O(\frac{1}{\varepsilon_1})$ 时间内计算得出。
- 顶点网格的候选线段筛选
- 顶点的 $\overline{d}$ - 正方形与网格相关概念 ：考虑 $CH(\mathcal{P})$ 中一个顶点 $v$ 的 $\overline{d}$ - 正方形及其网格。从 $\overline{d}$ - 正方形外的一点 $y$ 出发，可以向穿过边的网格角点绘制一系列线段，这些线段会与每个网格单元相交。设 $yt$ 是其中一条线段（$t$ 是 $y$ 所在穿过边上的一个网格角点），$yt$ 会与 $O(\frac{1}{\varepsilon})$ 个单元相交。
- 代表点的计算与近似 ：设 $C$ 是 $yt$ 相交单元的代表点集合，$q$ 是 $C$ 中使得 $\mathcal{P}$ 中一点到 $yq$ 的最大距离在所有 $y$ 与 $C$ 中一点的线段中最小的代表点。设 $o$ 是 $yt$ 与非穿过边的交点，$r_i$ 和 $r_{i + 1}$ 是该非穿过边上紧邻 $o$ 上下的两个网格角点。可以定义 $q_i$ 和 $q_{i + 1}$ ，并且有引理表明，$\mathcal{P}$ 中一点到 $yq_i$ 或 $yq_{i + 1}$ 的最大距离至多比到 $yq$ 的最大距离大 $\frac{\varepsilon\tilde{d}}{6}$。
- 表格构建与候选线段计算 ：对于一个顶点网格，可以考虑每对网格角点 $(r_i, t)$（$r_i$ 是非穿过边上的角点，$t$ 是穿过边上的角点），计算 $(r_i, t)$ 的代表点 $q_i$ ，并将所有这样的代表点存储在一个表格中。一个顶点网格有 $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ 对这样的角点，表格可以在 $O(\frac{1}{\varepsilon^3})$ 时间内构建。由于有 $O(\frac{1}{\varepsilon_1})$ 个顶点网格，构建所有表格需要 $O(\frac{1}{\varepsilon^3\varepsilon_1})$ 时间。对于一对顶点网格 $(B_1, B_2)$，经过 $O(\frac{1}{\varepsilon^4})$ 时间的预处理后，可以在 $O(\frac{1}{\varepsilon^3})$ 时间内计算出一组 $O(\frac{1}{\varepsilon^3})$ 个候选线段，该组中的最优候选线段是 $(B_1, B_2)$ 最优候选线段的 $(1 + \frac{\varepsilon}{6})$ 近似。
- 计算最远点 ：已知 $\mathcal{P}$ 中到一个线段的最远点是 $CH(\mathcal{P})$ 的一个顶点。一个顶点到线段 $pq$ 的最大距离等于 $\delta(\mathcal{P}, p, pq)$、$\delta(\mathcal{P}, q, pq)$ 和 $d_{\perp}(\mathcal{P}, pq)$ 中的最大值。其中 $d_{\perp}(\mathcal{P}, pq)$ 可以使用二分查找在 $O(\log\frac{1}{\varepsilon_1})$ 时间内计算，而 $\delta(\mathcal{P}, p, pq)$ 和 $\delta(\mathcal{P}, q, pq)$ 可以通过构建特定的数据结构在 $O(\log\frac{1}{\varepsilon_1})$ 时间内计算。综合前面的内容，对于平面上的 $n$ 个点，可以在 $O(n + \frac{1}{\varepsilon^4}\log\frac{1}{\varepsilon})$ 时间和线性空间内计算出一个 $(1 + \varepsilon)$ 近似离散中心线段。

下面是该过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[考虑CH(P)边缘对] --> B[考虑顶点网格对];
    B --> C[顶点网格候选线段筛选];
    C --> D[计算代表点与近似];
    D --> E[构建表格];
    E --> F[计算候选线段];
    F --> G[计算最远点];
    G --> H[得出(1 + ε)近似离散中心线段];

移动群体的密度近似

随着跟踪移动对象的设备普及，产生了大量数据，分析移动群体的特征变得尤为重要。
- 研究背景与问题提出 ：移动实体形成的群体在野生动物生态、城市交通、体育分析等领域的研究中具有重要意义。不仅群体的存在很关键，群体的实际形状和密度分布也蕴含着重要信息。例如，一群角马的形状和密度分布可以反映它们是否在迁徙，动物群体在不同危险情况下的密度和分布也会有所不同。研究的输入是一组在 $\mathbb{R}^2$ 中移动的 $n$ 个点 $P$，这些点做分段线性运动并包含在一个边界框 $D = [0, D] \times [0, D]$ 内。目标是监测 $P$ 随时间的密度变化，使用核密度估计（KDE）来测量 $P$ 在位置 $(x, y)$ 的密度。
- 相关概念与初步方法
- 核密度估计（KDE） ：要得到 $P$ 的核密度估计 $KDE_P$，需要选择一个核函数 $K$。例如常见的圆锥核函数：
[
K(x, y) =
\begin{cases}
1 - \frac{|(x, y)|}{\sigma}, & \text{对于 } |(x, y)| < \sigma \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]
在一定假设下（如核函数斜率有界、$\sigma = 1$ 且核函数下的体积为 1），$KDE_P$ 的计算公式为：
[
KDE_P(x, y) = \frac{1}{n}\sum_{p \in P}K(x - x(p), y - y(p))
]
- 四叉树 ：在一个有界域 $D$ 上构建四叉树 $T$，每个节点 $v$ 代表 $D$ 中的一个区域 $R(v)$。叶子节点（也称为单元）有边长 $s(v)$，如果 $w$ 是 $v$ 的子节点，则 $s(w) = \frac{s(v)}{2}$。可以通过给每个叶子节点 $v$ 增加一个值 $h(v)$ 来用四叉树表示一个函数 $f_T$。
- 初步方法的优缺点 ：一种简单的方法是在 $P$ 上构建四叉树，将四叉树单元的大小与 $P$ 的密度相关联。这种方法在密度峰值附近的空间分辨率较高，但存在两个主要缺点：一是近似不依赖于 KDE 的核大小，二是不能保证保留 $KDE_P$ 的所有显著局部最大值。
- 改进方法与后续步骤
- 基于体积的函数近似 ：提出一种基于函数下方体积使用四叉树近似任何函数 $f$ 的方法。
- 构建点集估计体积 ：接下来会构建一个点集来估计 $KDE_P$ 下方的体积，以便在底层点移动时有效地维护近似。
- 使用动力学数据结构维护 ：最后使用动力学数据结构来维护 $KDE_P$ 的近似及其最大值。

下面是移动群体密度近似的步骤表格：
|步骤|描述|
|----|----|
|提出问题|输入移动点集 $P$，使用 KDE 监测密度变化|
|相关概念介绍|介绍 KDE、四叉树等概念|
|初步方法分析|分析简单四叉树方法的优缺点|
|改进方法实施|基于体积近似函数、构建点集、使用动力学数据结构维护|

综上所述，线性时间近似离散中心线段和移动群体的密度近似这两个研究方向都有其独特的理论和方法，对于解决实际问题具有重要的指导意义。

线性时间近似离散中心线段与移动群体密度近似研究

移动群体密度近似的深入探讨

• 基于体积的函数近似原理
  • 对于任意函数 $f$，我们可以基于其下方的体积用四叉树进行近似。这种方法的核心思想是将函数所在的二维空间划分为不同的区域，通过四叉树的节点来表示这些区域，并根据函数在这些区域上的体积信息来确定每个节点的值。
  • 具体来说，四叉树的每个节点代表一个特定的区域 $R(v)$，我们会计算函数 $f$ 在该区域上的体积，以此为依据为节点赋予一个合适的值 $h(v)$。这样，整个四叉树就可以近似地表示函数 $f$。
• 构建点集估计体积的操作步骤
  1. 确定采样策略 ：为了估计 $KDE_P$ 下方的体积，我们需要在移动点集 $P$ 所在的空间中进行采样。可以采用均匀采样或者根据点集的分布进行自适应采样的策略。例如，在点集密度较高的区域可以适当增加采样点的数量，以提高估计的准确性。
  2. 计算采样点的密度值 ：对于每个采样点 $(x,y)$，根据 $KDE_P$ 的计算公式 $KDE_P(x, y) = \frac{1}{n}\sum_{p \in P}K(x - x(p), y - y(p))$ 计算其密度值。
  3. 构建点集 ：将采样点及其对应的密度值组合成一个点集，这个点集就可以用来估计 $KDE_P$ 下方的体积。
• 使用动力学数据结构维护的具体流程
  1. 定义证书 ：动力学数据结构（KDS）使用证书来确保所跟踪的属性（如 $KDE_P$ 的近似及其最大值）不变。证书是与移动点的轨迹相关的几何表达式。例如，对于两个相邻的四叉树单元，我们可以定义一个证书来表示它们之间的密度关系在一定条件下保持不变。
  2. 事件排序与存储 ：所有证书按照失效时间进行排序，并存储在一个事件队列中。当某个证书失效时，就会触发一个事件。
  3. 事件处理 ：KDS 按顺序处理事件，更新证书和所跟踪的属性。例如，当一个移动点的位置发生变化，可能会导致某些证书失效，此时需要重新计算相关的密度值和最大值，并更新四叉树的节点信息。

下面是使用动力学数据结构维护的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[定义证书] --> B[事件排序与存储];
    B --> C[等待事件触发];
    C --> D{事件是否触发};
    D -- 是 --> E[处理事件];
    E --> F[更新证书和属性];
    F --> C;
    D -- 否 --> C;

拓扑持久性在移动群体密度分析中的应用

• 拓扑持久性的概念 ：对于一个二维函数 $f$，其临界点（梯度为 $(0, 0)$ 的点）可以分为局部最小值、鞍点和局部最大值三种类型。然而，有些临界点可能是由于噪声产生的，并不代表函数的重要特征。拓扑持久性可以用来衡量临界点的相关性。
• 在移动群体密度分析中的作用 ：在移动群体的密度分析中，我们希望保留那些具有高持久性的局部最大值，因为它们代表了群体中真正有意义的高密度区域。通过使用相关引理（基于 Cohen - Steiner 等人的研究结果），我们可以确保在对 $KDE_P$ 进行近似时，高持久性的局部最大值能够在近似函数 $\hat{f}$ 中得以保留。
• 具体操作步骤
  1. 计算临界点 ：首先，需要计算 $KDE_P$ 的所有临界点。这可以通过对 $KDE_P$ 求偏导数并令其为 $(0, 0)$ 来实现。
  2. 评估持久性 ：对于每个临界点，评估其拓扑持久性。可以通过比较临界点周围的函数值变化来确定其持久性的高低。
  3. 筛选重要临界点 ：根据持久性的阈值，筛选出具有高持久性的局部最大值，这些最大值对应的区域就是我们需要重点关注的移动群体的高密度区域。

下面是拓扑持久性应用的步骤列表：
1. 计算 $KDE_P$ 的临界点。
2. 评估每个临界点的拓扑持久性。
3. 根据阈值筛选高持久性的局部最大值。

总结与展望

线性时间近似离散中心线段和移动群体的密度近似这两个研究方向在计算几何领域具有重要的理论和实际应用价值。线性时间近似离散中心线段的方法为解决平面上点集的中心线段问题提供了高效的解决方案，通过一系列的步骤，能够在合理的时间和空间复杂度内得到近似的离散中心线段。而移动群体的密度近似研究则深入探讨了如何利用核密度估计、四叉树和动力学数据结构等工具来分析移动群体的密度和形状特征，同时引入拓扑持久性的概念来筛选出有意义的高密度区域。

在未来的研究中，可以进一步考虑放松一些假设条件，例如允许移动点的轨迹不是分段线性的，或者不限制在一个固定的边界框内。这可能需要对现有的算法进行改进和优化，以在保证一定效率的前提下，提高算法的通用性和实用性。此外，还可以将这些研究成果应用到更多的实际场景中，如交通流量预测、体育比赛战术分析等，为这些领域的决策提供更有力的支持。