85、高效空间功能离线部分持久树与离散中心线线段近似算法

高效空间功能离线部分持久树与离散中心线线段近似算法

1. 高效空间功能离线部分持久树

在数据结构领域，离线部分持久树是一种重要的数据结构，它允许在保留历史版本的同时进行高效的查询和更新操作。

1.1 树旋转与DAG合规性

在二叉搜索树（BST）中进行旋转操作时，可能会出现循环，破坏有向无环图（DAG）的性质。例如，进行右旋操作时，可能会在节点 x 和 y 之间形成虚线循环。为了解决这个问题，可以创建节点 y 的新副本 y′ ，使得得到的图仍然是DAG，并且符合TUNA条件。

以下是旋转操作的示例图：
| 操作前 | 操作后（有循环） | 操作后（合规） |
| ---- | ---- | ---- |
| | | |

1.2 其他数据结构的应用

• 功能随机访问数组 ：Okasaki提出的功能随机访问数组，对于大小为 n 的数组，最坏情况下的查找和更新时间为$O(min{i, log n})$，其中 i 是查询元素的索引。该数据结构很容易满足TUNA条件，因此可以在仅增加常数因子空间开销的情况下实现离线部分持久化。
• 红黑树 ：平衡红黑树在每次更新时进行摊销$O(1)$次颜色更改，即使需要存储颜色信息以进行持久查询，也能满足TUNA条件。Okasaki的红黑树简单功能实现，每次插入也进行摊销$O(1)$次更改。
• Treaps ：每次更新期望进行$O(1)$次旋转，因此产生$O(1)$条新边，满足放松后的TUNA条件。
• AVL树 ：AVL树的平衡值（节点为根的子树的高度）仅在更新期间用于平衡，更新仅执行摊销$O(1)$次旋转，因此也能满足TUNA条件。

以下是这些数据结构满足TUNA条件的总结表格：
| 数据结构 | 满足TUNA条件原因 |
| ---- | ---- |
| 功能随机访问数组 | 查找和更新时间满足要求，易满足TUNA条件 |
| 红黑树 | 每次更新摊销$O(1)$次颜色更改 |
| Treaps | 每次更新期望$O(1)$次旋转 |
| AVL树 | 更新执行摊销$O(1)$次旋转 |

1.3 实现与实验

实验在Haskell中实现并测试，使用WSL Ubuntu 20.04.6在Windows 10上运行，处理器为11th Gen Intel Core i7 - 1165G7，4核8线程，16GB RAM，运行ghc Haskell编译器版本8.6.5，无编译器标志。

• 正确性测试 ：对临时和持久的不平衡二叉搜索树应用各种确定性和随机更新序列，保存临时版本的根，根据持久版本构建查询DAG，然后在每个时间戳测试两个版本是否产生相同的树，测试未发现错误。
• 空间使用测量 ：使用Haskell的 recursiveSizeNF 函数递归测量对象的大小（以字节为单位），持久数据结构的空间在构建查询DAG后测量。
• 运行时间实验 ：空间使用、更新和查询的运行时间实验结果符合理论预期，但DAG构建运行时间实验的结果似乎比理论的$O(n log n)$要大。通过一个简单实验推测，额外的运行时间开销可能来自Haskell编译器、底层结构的特定实现和/或代码执行环境。

以下是运行时间实验的流程图：

graph LR
    A[生成随机输入] --> B[执行更新操作]
    B --> C[构建查询DAG]
    C --> D[测量运行时间]
    D --> E[分析结果]

2. 离散中心线线段近似算法

给定平面上的一组 n 个点 P ，离散中心线线段问题是找到一条端点都在 P 中的线段，使得 P 中任意点到该线段的最大距离最小。

2.1 问题背景

一般离散 p 中心问题是聚类和设施定位中的基本问题，已被证明是NP完全问题。对于常数 p （ p = 1 或 2 ）的情况，离散1中心问题可以使用最远邻Voronoi图在$O(n log n)$时间内解决，离散2中心问题的时间复杂度也有相关研究。离散中心线线段问题与离散2中心问题密切相关。

2.2 算法步骤

算法主要分为两个步骤：
1. 构建近似点集 ：通过计算 P 的一个$(1 + ε)$近似直径点对，找到一个方向，使得 P 沿该方向的宽度是某个常数乘以$d∗$（ P 中任意点到中心线段的最大距离）。这一步需要$O(n + 1/ε)$时间。
- 首先，计算$(1 + ε)$近似直径点对$(a, b)$。
- 然后，根据引理1，证明 P 沿垂直于通过$(a, b)$的直线的方向的宽度最多为$10d∗$。
2. 计算近似中心线段 ：高效计算近似点集的$(1 + ε/6)$近似中心线段，这一步最初需要$O(n + 1/ε7)$时间，经过进一步优化后，最终运行时间为$O(n + 1/ε4 log 1/ε)$。

以下是算法步骤的表格总结：
| 步骤 | 操作 | 时间复杂度 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 构建近似点集 | $O(n + 1/ε)$ |
| 2 | 计算近似中心线段 | $O(n + 1/ε4 log 1/ε)$ |

2.3 引理证明

引理1表明， P 沿垂直于通过$(1 + ε)$近似直径点对$(a, b)$的直线的方向的宽度最多为$10d∗$。证明过程通过分情况讨论：
- 情况1： ab 和 xy 相交 ：设 o 为交点， θ 为较小夹角。对于任意点 p ，通过一系列推导可得$d⊥(p, ab) ⩽ 5d∗$。
- 情况2： ab 和 xy 不相交 ：考虑 ab 斜率为负或无穷大的情况，再分多种子情况进行讨论，如 ab 在 xy 上方、 ab 与 xy 相交等，最终证明$d⊥(p, ab)$的最大值满足要求。

以下是引理证明的流程图：

graph LR
    A[设xy为中心线段，d∗为最大距离] --> B[分情况讨论ab和xy的位置关系]
    B --> C{ab和xy相交?}
    C -- 是 --> D[计算d⊥(p, ab)并证明⩽ 5d∗]
    C -- 否 --> E[考虑ab斜率情况]
    E --> F[分多种子情况讨论]
    F --> G[计算d⊥(p, ab)并证明满足要求]

通过以上算法和证明，可以在$O(n + 1/ε4 log 1/ε)$时间内使用线性空间得到离散中心线线段的$(1 + ε)$近似解。

高效空间功能离线部分持久树与离散中心线线段近似算法

2.4 算法优化

在计算近似中心线段的步骤中，最初的时间复杂度为$O(n + 1/ε^7)$，为了进一步提高算法效率，进行了以下优化：
1. 减少不必要的计算 ：分析算法中哪些计算步骤是冗余的，通过合理的数据结构和算法设计，避免重复计算。例如，在计算点到线段的距离时，可以提前存储一些中间结果，减少每次计算的开销。
2. 分治策略 ：将问题分解为更小的子问题，分别求解后再合并结果。对于离散中心线线段问题，可以将点集 P 划分为多个子集，分别计算每个子集的近似中心线段，然后再综合考虑这些结果，得到整个点集的近似中心线段。
3. 利用几何性质 ：充分利用平面几何的性质，减少计算量。例如，根据点集的分布特点，确定一些特殊的方向或区域，只在这些方向或区域内进行计算，从而减少不必要的搜索空间。

以下是优化步骤的列表总结：
- 减少不必要的计算
- 采用分治策略
- 利用几何性质

通过这些优化，最终将计算近似中心线段的时间复杂度降低到$O(n + 1/ε^4 log 1/ε)$。

2.5 算法复杂度分析

该算法的时间复杂度主要由两个步骤决定：
| 步骤 | 时间复杂度 | 说明 |
| ---- | ---- | ---- |
| 构建近似点集 | $O(n + 1/ε)$ | 计算$(1 + ε)$近似直径点对和确定方向的时间开销 |
| 计算近似中心线段 | $O(n + 1/ε^4 log 1/ε)$ | 经过优化后的计算近似中心线段的时间复杂度 |

总的来说，整个算法的时间复杂度为$O(n + 1/ε^4 log 1/ε)$，空间复杂度为线性，满足了在有限时间和空间内解决离散中心线线段问题的需求。

2.6 算法的应用场景

离散中心线线段问题在很多实际场景中都有应用，例如：
1. 聚类分析 ：在聚类算法中，找到离散中心线线段可以帮助确定聚类的中心位置，使得每个点到聚类中心的距离最小，从而提高聚类的效果。
2. 设施定位 ：在设施选址问题中，离散中心线线段可以作为一种衡量标准，选择合适的设施位置，使得所有用户到设施的最大距离最小。
3. 图像处理 ：在图像处理中，离散中心线线段可以用于图像分割、边缘检测等任务，帮助提取图像中的关键信息。

以下是应用场景的流程图：

graph LR
    A[聚类分析] --> B[确定聚类中心]
    C[设施定位] --> D[选择设施位置]
    E[图像处理] --> F[图像分割和边缘检测]

3. 总结与展望

本文介绍了高效空间功能离线部分持久树和离散中心线线段近似算法。对于离线部分持久树，通过创建新节点副本解决旋转操作中的循环问题，多种数据结构满足TUNA条件，实验结果基本符合理论预期，但DAG构建运行时间存在额外开销。对于离散中心线线段问题，提出了一种$(1 + ε)$近似算法，通过构建近似点集和计算近似中心线段两个步骤，在$O(n + 1/ε^4 log 1/ε)$时间内使用线性空间得到近似解。

未来的研究方向可以包括：
1. 进一步优化离线部分持久树的DAG构建算法，减少运行时间的额外开销。
2. 探索离散中心线线段近似算法在更多实际场景中的应用，提高算法的实用性。
3. 研究其他类似问题的近似算法，拓展算法的应用范围。

以下是未来研究方向的列表总结：
- 优化离线部分持久树的DAG构建算法
- 探索离散中心线线段近似算法的更多应用场景
- 研究其他类似问题的近似算法

通过不断的研究和改进，这些算法将在数据结构和几何计算领域发挥更大的作用。