86、线性时间内近似离散中心线段

线性时间内近似离散中心线段

在几何计算领域，计算离散点集的中心线段是一个重要问题。本文将介绍一种在线性时间内近似离散中心线段的方法，通过一系列步骤和算法优化，逐步实现高效的近似计算。

1. 近似点集的计算

首先，我们需要计算点集 (P) 的近似点集 (\tilde{P})。具体步骤如下：
1. 计算近似直径点对 ：使用近似直径算法得到点集 (P) 的一个 ((1 + \varepsilon)) - 近似直径点对 ((a, b))。
2. 旋转点集 ：将点集 (P) 绕坐标系原点旋转，使线段 (ab) 平行于 (y) 轴。
3. 计算近似凸包 ：
- 确定点集 (P) 中所有点的最小和最大 (x) 坐标 (x_{min}) 和 (x_{max})。
- 选择精度参数 (\varepsilon_1)，将平面划分为宽度为 (\frac{\varepsilon_1}{10} \cdot (x_{max} - x_{min})) 的条带。
- 将点集 (P) 中的点索引到各个条带中。
- 对于每个条带，找出其中 (y) 坐标最大和最小的两个点。
- 将这些极值点与最小和最大 (x) 坐标对应的点合并为集合 (S’)。
- 计算集合 (S’) 的凸包，得到点集 (P) 的近似凸包 (ACH(P))。
4. 生成近似点集 ：对于点集 (P) 中位于 (ACH(P)) 外部的点，将其沿 (x) 轴移动到 (ACH(P)) 的最近边界上。近似点集 (\tilde{P}) 由 (ACH(P)) 内部的点（未移动）和移动后的点组成。

以下是该过程的流程图：

graph TD;
    A[计算近似直径点对] --> B[旋转点集];
    B --> C[计算近似凸包];
    C --> D[生成近似点集];

通过上述步骤，我们可以在 (O(n + \frac{1}{\varepsilon_1})) 时间内计算出近似点集 (\tilde{P})。

2. 近似点集的性质

近似点集 (\tilde{P}) 几乎和原始点集 (P) 一样好。具体来说，我们可以通过计算 (\tilde{P}) 的一个 ((1 + \frac{\varepsilon}{6})) - 近似中心线段来得到 (P) 的一个 ((1 + \varepsilon)) - 近似中心线段。

近似凸包 (ACH(P)) 有 (O(\frac{1}{\varepsilon_1})) 个顶点，条带的宽度最多为 (\varepsilon_1 \cdot d^ )。对于点集 (P) 中位于 (ACH(P)) 外部的点，其移动距离最多为 (\varepsilon_1 d^ )。

设 (\tilde{x}\tilde{y}) 是 (\tilde{P}) 的一个中心线段，(\tilde{d}) 是 (\tilde{P}) 中所有点到 (\tilde{x}\tilde{y}) 的最大距离。如果 (\tilde{x}) 和 (\tilde{y}) 的原始点分别为 (x) 和 (y)，则线段 (xy) 是 (P) 的一个 ((1 + 4\varepsilon_1)) - 近似中心线段。

通过设置 (\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{6})，我们可以证明，(\tilde{P}) 的一个 ((1 + \frac{\varepsilon}{6})) - 近似中心线段的原始线段是 (P) 的一个 ((1 + \varepsilon)) - 近似中心线段。

3. 计算 (\tilde{P}) 的近似中心线段

为了计算 (\tilde{P}) 的一个 ((1 + \frac{\varepsilon}{6})) - 近似中心线段，我们需要对 (\tilde{d}) 进行良好的估计。可以通过检查 (CH(\tilde{P})) 的对角线来实现。

我们定义 (CH(\tilde{P})) 中所有对角线中，到 (\tilde{P}) 中所有点的最大距离最小的对角线为中心对角线 (G)。可以证明，(\tilde{P}) 中所有点到中心对角线 (G) 的最大距离最多为 (2\tilde{d})。

虽然 (CH(\tilde{P})) 有 (O(\frac{1}{\varepsilon_1^2})) 条对角线，但我们只需要考虑 (O(\frac{1}{\varepsilon_1})) 条对角线就能找到中心对角线。这是基于以下单调性质：
设 (f(i, j)) 是 (ccw(i, j)) 上的顶点到对角线 (v_iv_j) 的最大距离，(g(i, j)) 是 (cw(i, j)) 上的顶点到对角线 (v_iv_j) 的最大距离，则有：
- (f(i, j) \leq f(i, j + 1))
- (g(i, j) \geq g(i, j + 1))
- (f(i + 1, j) \leq f(i, j))
- (g(i + 1, j) \geq g(i, j))
- 设 (f(i)) 是满足 (f(i, j) > g(i, j)) 的最小 (j) 值，则 (f(i + 1) \geq f(i))

这些性质使得我们可以在搜索中心对角线时减少不必要的计算。

接下来，我们需要计算 (\tilde{P}) 中到线段 (pq) 的最远点及其距离。可以证明，最远点是 (CH(\tilde{P})) 的一个顶点。对于 (CH(\tilde{P})) 中的顶点，根据其所在的半平面，我们可以通过不同的方法计算其到线段 (pq) 的距离。

具体来说，设 (\delta(\tilde{P}, p, pq)) 表示 (CH(\tilde{P})) 中位于 (H_p) 的顶点到 (p) 的最大距离，(\delta(\tilde{P}, q, pq)) 表示 (CH(\tilde{P})) 中位于 (H_q) 的顶点到 (q) 的最大距离，(d_{\perp}(\tilde{P}, pq)) 表示 (CH(\tilde{P})) 中所有顶点到过 (p) 和 (q) 的直线的最大距离。则 (CH(\tilde{P})) 中所有顶点到线段 (pq) 的最大距离等于 (\max{\delta(\tilde{P}, p, pq), \delta(\tilde{P}, q, pq), d_{\perp}(\tilde{P}, pq)})。

通过构建特定的数据结构，我们可以在 (O(\frac{1}{\varepsilon_1} \log^2 \frac{1}{\varepsilon_1})) 时间内计算出中心对角线和 (\bar{d})（(\tilde{P}) 中所有点到中心对角线的最大距离）。

最后，我们可以通过以下步骤计算 (\tilde{P}) 的一个 ((1 + \frac{\varepsilon}{6})) - 近似中心线段：
1. 在平面上放置一个边长为 (\frac{\varepsilon \bar{d}}{48\sqrt{2}}) 的轴对齐网格。
2. 将点集 (\tilde{P}) 中的所有点索引到网格的各个单元格中。
3. 对于每个顶点 (v) 的 (\bar{d}) - 正方形（边长为 (2\bar{d})，中心为顶点 (v) 的正方形）与网格的交集（称为顶点网格），随机选择一个索引到该单元格的点作为代表点。
4. 由于中心线段的两个端点必然位于某些顶点网格的单元格内，我们可以考虑所有顶点网格对，并对每对网格考虑连接两个代表点的所有候选线段，从中选择一个作为 ((1 + \frac{\varepsilon}{6})) - 近似中心线段。

通过以上步骤，结合之前的计算，我们可以在 (O(n + \frac{1}{\varepsilon^7})) 时间内计算出点集 (P) 的一个 ((1 + \varepsilon)) - 近似中心线段。

4. 优化：仅考虑 (O(\frac{1}{\varepsilon_1})) 对顶点网格

为了进一步提高算法的效率，我们可以减少需要考虑的顶点网格对的数量。具体来说，我们只需要考虑 (O(\frac{1}{\varepsilon_1})) 对顶点网格，而不是 (O(\frac{1}{\varepsilon_1^2})) 对。

设 (p, r, q, s) 是 (CH(\tilde{P})) 边界上按逆时针顺序排列的四个点，定义 (f(p, q)) 是 (ccw(p, q)) 上的顶点到线段 (pq) 的最大距离，(g(p, q)) 是 (cw(p, q)) 上的顶点到线段 (pq) 的最大距离。则有以下单调性质：
- (f(p, q) \leq f(p, s))
- (g(p, q) \geq g(p, s))
- (f(r, q) \leq f(p, q))
- (g(r, q) \geq g(p, q))
- 设 (f(p)) 是 (CH(\tilde{P})) 边界上满足 (f(p, f(p)) = g(p, f(p))) 的点，则 (f(p)) 是唯一的，且 (f(p) \neq f(q))，线段 (pf(p)) 和 (qf(q)) 在 (CH(\tilde{P})) 内部相交。

基于这些性质，对于所有延伸后与 (CH(\tilde{P})) 的边 (v_iv_{i + 1}) 相交的候选线段，我们只需要考虑那些延伸后也与边 (v_{f(i) - 1}v_{f(i)}, v_{f(i)}v_{f(i) + 1}, \cdots, v_{f(i + 1) - 1}v_{f(i + 1)}) 相交的线段。

通过这种优化，我们可以显著减少需要考虑的候选线段数量，从而进一步提高算法的效率。

总结

本文介绍了一种在线性时间内近似离散中心线段的方法。通过计算近似点集、利用近似凸包和单调性质，我们可以在 (O(n + \frac{1}{\varepsilon^7})) 时间内得到点集 (P) 的一个 ((1 + \varepsilon)) - 近似中心线段。通过进一步优化，如仅考虑 (O(\frac{1}{\varepsilon_1})) 对顶点网格，我们可以减少计算量，提高算法的效率。

这种方法在处理大规模离散点集时具有重要的应用价值，能够在可接受的时间复杂度内得到高质量的近似结果。在实际应用中，可以根据具体需求调整精度参数 (\varepsilon) 和 (\varepsilon_1)，以平衡计算精度和时间复杂度。

未来展望

虽然本文提出的算法已经在时间复杂度上取得了较好的结果，但仍有进一步优化的空间。例如，可以探索更高效的数据结构和算法，以减少计算过程中的冗余操作。此外，还可以考虑将该方法扩展到更高维度的空间，解决更复杂的几何计算问题。

同时，对于算法的稳定性和鲁棒性也可以进行深入研究，确保在不同的数据分布和噪声情况下都能得到可靠的结果。这些研究方向将有助于推动几何计算领域的发展，为实际应用提供更强大的工具。

线性时间内近似离散中心线段

5. 进一步优化：每对顶点网格仅考虑 (O(\frac{1}{\varepsilon^3})) 个候选线段

除了减少顶点网格对的数量，我们还可以对每对顶点网格所考虑的候选线段数量进行优化。原本每对顶点网格需要考虑 (O(\frac{1}{\varepsilon^4})) 个候选线段，现在我们可以将其减少到 (O(\frac{1}{\varepsilon^3})) 个。

具体操作如下：
- 分析顶点网格的几何特性，结合之前得到的单调性质和距离计算方法，筛选出更有可能成为近似中心线段的候选线段。
- 利用已经计算出的中心对角线和相关距离信息，排除那些明显不符合要求的线段。

通过这些操作，我们可以在保证近似精度的前提下，进一步减少计算量，提高算法的效率。

6. 高效计算最远点到候选线段的距离

为了进一步提升算法性能，我们需要高效地计算最远点到候选线段的距离。之前我们提到可以通过不同方法计算 (CH(\tilde{P})) 中顶点到线段 (pq) 的距离，现在我们要将这个计算过程优化到 (O(\log \frac{1}{\varepsilon_1})) 时间。

具体步骤如下：
1. 预处理 ：利用已经计算出的 (CH(\tilde{P})) 和相关距离信息，构建合适的数据结构，例如二叉搜索树等，以便快速定位和计算顶点到线段的距离。
2. 二分搜索 ：对于 (CH(\tilde{P})) 中的顶点，使用二分搜索算法在数据结构中查找最远点到候选线段的距离。由于 (CH(\tilde{P})) 的顶点具有一定的有序性，二分搜索可以大大减少搜索范围，提高计算效率。

以下是该计算过程的流程图：

graph TD;
    A[预处理数据结构] --> B[二分搜索最远点];
    B --> C[计算距离];

通过这种优化，我们可以在更短的时间内计算出最远点到候选线段的距离，从而加快整个算法的执行速度。

7. 算法复杂度分析

通过上述一系列的优化步骤，我们对算法的时间复杂度进行了显著的改进。下面是优化前后算法复杂度的对比表格：

优化内容	优化前复杂度	优化后复杂度
计算近似点集 (\tilde{P})	(O(n + \frac{1}{\varepsilon_1}))	(O(n + \frac{1}{\varepsilon_1}))
计算中心对角线和 (\bar{d})	(O(\frac{1}{\varepsilon_1} \log^2 \frac{1}{\varepsilon_1}))	(O(\frac{1}{\varepsilon_1} \log^2 \frac{1}{\varepsilon_1}))
计算 (\tilde{P}) 的近似中心线段	(O(\frac{1}{\varepsilon_1^3} \cdot \frac{1}{\varepsilon^4}))	(O(\frac{1}{\varepsilon_1^3} \cdot \frac{1}{\varepsilon^3}))
计算点集 (P) 的近似中心线段	(O(n + \frac{1}{\varepsilon^7}))	待进一步优化（预计显著降低）

通过减少顶点网格对数量和每对顶点网格的候选线段数量，以及高效计算最远点到候选线段的距离，我们可以看到算法的复杂度得到了明显的改善。特别是在处理大规模离散点集时，这些优化将带来显著的性能提升。

总结与最终成果

本文详细介绍了一种在线性时间内近似离散中心线段的方法。从计算近似点集开始，利用近似凸包和单调性质，逐步优化算法的各个环节。通过减少需要考虑的顶点网格对数量、每对顶点网格的候选线段数量，以及高效计算最远点到候选线段的距离，我们显著提高了算法的效率。

最终，我们可以在更短的时间内得到点集 (P) 的一个 ((1 + \varepsilon)) - 近似中心线段。这种方法在处理大规模离散点集时具有重要的应用价值，能够在可接受的时间复杂度内得到高质量的近似结果。

实际应用与建议

在实际应用中，我们可以根据具体需求灵活调整精度参数 (\varepsilon) 和 (\varepsilon_1)。如果对计算精度要求较高，可以适当减小 (\varepsilon) 的值，但这可能会增加计算时间；如果对计算时间要求较高，可以适当增大 (\varepsilon) 的值，以牺牲一定的精度来换取更快的计算速度。

同时，对于不同的数据分布和噪声情况，我们可以进一步研究算法的稳定性和鲁棒性，确保在各种情况下都能得到可靠的结果。例如，可以在数据预处理阶段进行噪声过滤，或者对算法进行适当的调整，以适应不同的数据特点。

未来研究方向

尽管本文提出的算法已经取得了较好的效果，但仍有许多值得进一步研究的方向。例如：
- 更高维度的扩展 ：将该方法扩展到更高维度的空间，解决更复杂的几何计算问题，如三维点云数据的中心线段近似计算。
- 算法的并行化 ：利用多核处理器和并行计算技术，进一步提高算法的执行速度，特别是在处理大规模数据时。
- 自适应精度调整 ：根据数据的特点和用户的需求，自适应地调整精度参数，实现计算精度和时间复杂度的最优平衡。

这些研究方向将有助于推动几何计算领域的发展，为实际应用提供更强大的工具和解决方案。