71、量子路由与图着色算法研究

量子路由与图着色算法研究

1 量子路由问题概述

在超导量子计算机（如IBM Quantum系统）的量子程序编译器设计中，量子路由问题（也称为交换最小化问题）至关重要。从理论计算机科学的角度对该问题展开算法研究，发现即便量子计算机的图拓扑结构为路径（即线性最近邻架构），量子路由问题仍是NP难的。这意味着在该架构下，量子分配和量子路由的组合优化同样是NP难的。

1.1 问题定义与相关概念

给定一个实例 $(G, P = (S, ⪯), T, ϕ, f_0)$，其中 $G$ 是路径。为简化，设顶点集 $V = {1, 2, \ldots, n}$，边集 $E = { {i, i + 1} | i = 1, 2, \ldots, n - 1}$。对于一个令牌放置 $f$，若元素 $s \in S$ 满足 $f^{-1}(\phi(s)) = {\alpha_1, \alpha_2}$ 且 $\alpha_1 < \alpha_2$，定义 $gap_f(s) := \alpha_2 - \alpha_1 - 1$，它是在初始令牌放置为 $f$ 时实现 $\phi(s)$ 所需交换次数的下界。

对于不同元素 $s, s’ \in S$，若 $f^{-1}(\phi(s)) = {\alpha_1, \alpha_2}$，$f^{-1}(\phi(s’)) = {\beta_1, \beta_2}$，当 $\alpha_1 < \beta_1 < \alpha_2 < \beta_2$ 或 $\beta_1 < \alpha_1 < \beta_2 < \alpha_2$ 时，称 $s$ 和 $s’$ 交叉。当