5、图算法与机器人探索：前沿技术与挑战

图算法与机器人探索：前沿技术与挑战

1. 分布式算法与图优化

在图优化问题中，分布式算法具有重要意义。以基于原始 - 对偶模式开发的快速分布式算法为例，它可用于解决图上的优化问题，如计算最大独立集、顶点和边着色、小支配集、顶点覆盖等。在同步消息传递网络中，节点仅了解其邻居信息，通过有限的全局信息（如节点数量 n）来计算全局函数。

1.1 顶点覆盖问题

顶点覆盖问题是一个经典的组合优化问题，旨在找到一个顶点集，使得图中的每条边至少有一个端点在该集合中。我们可以将其表述为整数规划问题：
[
\begin{align }
\min &\sum_{v\in V} c(v) \cdot x_v \
\text{s.t.} &x_v + x_u \geq 1, \forall e = (u, v) \in E \
&x_v \in {0, 1}, \forall v \in V
\end{align }
]
通过将约束条件 (x_v \in {0, 1}) 松弛为 (x_v \geq 0)，得到线性规划松弛问题。其对偶问题为：
[
\begin{align }
\max &\sum_{e\in E} \alpha_e \
\text{s.t.} &\sum_{e=(u,v)\in E} \alpha_e \leq c(v), \forall v \in V \
&\alpha_e \geq 0, \forall e \in E
\end{align }