51、单边缠结图中的块交叉问题研究

单边缠结图中的块交叉问题研究

1. 块交叉相关计算与优化

在处理单边缠结图的块交叉问题时，对于内部节点 (v)，定义 (opt(v, p) = \min(opt(lc(v), p), opt(rc(v), p)))。显然，对于所有 (i \in [n])，有 (opt(i, 1) = 1)。对于 (i \in leaf(T)) 且 (p > 1)，(opt(i, p)) 的计算方式如下：
[
opt(i, p) =
\begin{cases}
opt(prec(i, rob(p)), p - 1) + 1, & \text{如果 } i - 1 \notin leaf(T(prec(i, rob(p)))) \
\min(opt(prec(i, rob(p)), p - 1) + 1, opt(i - 1, p - 1)) & \text{否则}
\end{cases}
]
当 (i - 1 \in leaf(T(prec(i, rob(p))))) 时，对应着 (i - 1) 排在 (i) 之前的可能性。这个条件可以通过预先计算所有 (2 \leq i \leq n) 的 (lca(i - 1, i)) 来检查。所有这些值都可以在 (O(n^2)) 时间内计算得出，并且 (\min_{\pi’ \in \Pi(T)} blocks(\pi’) = \min_{i \in [n]} opt(i, n))。

利用 (opt) 数组中的值，可以在 (O(n^2)) 的空间和时间内计算出满足 (blocks(\pi) = \min_{i \in [n]} opt(i, n)) 的排列 (\pi \in \