12、可视化代数证明在无结检测中的应用

可视化代数证明在无结检测中的应用

1. 引言

在研究结理论时，判断一个结图是否为平凡结是一个重要问题。本文将介绍一种通过绘制特定缠结图来证明结图为平凡结的实用方法，同时探讨如何利用计算机自动进行相关证明。

2. 缠结图与虚拟尺子理论

2.1 缠结图的定义

缠结图 $T$ 类似于结图，但它的弧可以有自由端，通常排列在图的边界框的顶部和底部。弧由群的元素标记，且每个标记的交叉点需与原始结图的标记交叉点精确匹配。

2.2 虚拟尺子的定义

• 定义 1 ：对于缠结图 $T$，虚拟尺子 $v$ 是一条额外的线，其左端和右端各有一个自由端，仅在非经典交叉点处与 $T$ 横向相交。可以将尺子看作是从缠结图的左侧到右侧绘制的一条线，它正确地穿过缠结图（无切线相交或线段共线），且不经过缠结图中已有的经典交叉点。缠结图与尺子的交点通过圆点（可称为虚拟交叉点）明确表示。
• 定义 2 ：设 $T$ 是缠结图，$v$ 是 $T$ 的虚拟尺子。$v$ 的弧的标签由 $T$ 诱导得出，将单位元（此处用 1 表示）分配给 $v$ 最左边的自由弧，并在从左到右遍历虚拟尺子时，将 $v$ 穿过的 $T$ 的弧上的标签连接起来。在 $v$ 最右边的自由端获得的单词 $w$ 是 $v$ 在 $T$ 中的解释。

2.3 TR 移动

定义了两种虚拟尺子在缠结图上的移动，分别记为 TR2 和 TR3，如图 1 所示。
- TR2 ：$w_1$