50、单边缠结图中的块交叉问题研究

单边缠结图中的块交叉问题研究

1. 引言

缠结图是由两棵有根的 $n$ 叶树以及它们叶节点集合之间的匹配构成，匹配边以直线形式绘制。通常，一棵树种在左侧，另一棵树在右侧，它们的叶节点集合分别位于两条垂直线上且相互面对。缠结图在比较具有相同叶节点集合的两个系统发育树时非常有用，可用于研究共物种形成，或者比较不同算法计算出的假设系统发育树。此外，它还可用于层次聚类中的树状图比较或软件层次结构的比较。

缠结图的可读性在很大程度上取决于两个叶节点集合在垂直线上的顺序，因为这决定了匹配边之间的交叉数量。而可能的顺序又依赖于两棵树的结构，所以找到合适的顺序以最小化两两交叉的数量是一个具有挑战性的问题，即缠结图布局问题（TLP）。

本文聚焦于最小化块交叉，而非两两边交叉。块交叉是指在一个受限区域 $R$ 内，两个不相交的边集交叉，每个边集在 $R$ 中形成一组局部平行的曲线，且没有其他边与 $R$ 相交。块交叉能够将多个交叉组合在一起，减少绘图中的视觉混乱，通常所需的块交叉数量比两两交叉数量更少。本文主要研究二叉树的缠结图，其中一棵树的叶节点顺序是固定的。

2. 相关工作

2.1 缠结图布局问题（TLP）

• 当两个叶节点集合都可以排序时，TLP 问题是 NP 完全的，即使树是完全树。不过，存在近似算法、固定参数算法、整数线性规划公式和启发式算法。
• 如果一棵树的叶节点顺序固定，对于二叉树，该问题可以在多项式时间内解决；但对于非二叉树，这个问题仍然是 NP 完全的。

2.2 边捆绑与块交叉

• 边捆绑是网络可视化中的一种技术，用