47、最短路径上的差分隐私范围查询

最短路径上的差分隐私范围查询

1. 最短路径相关集合元素数量证明

对于任意大小为 (s) 的集合 (A)，任意最短路径要么不包含 (A) 中的任何顶点，要么包含路径上第一个属于 (A) 的顶点 (x) 和最后一个属于 (A) 的顶点 (y)，且 (x) 和 (y) 可能是同一个顶点。所以 (S|A) 包含 (A) 与 (S(x, y)) 的并集（(\forall x, y \in A)），其中 (S(x, y)) 是从 (x) 到 (y) 的最短路径上的顶点集合。因此，(S|A) 最多有 (O(s^2)) 个元素。

2. 利用通用算法进行私有范围查询

理解最短路径系统的 VC 维数和原始粉碎函数的好处是可以使用通用算法进行私有范围查询。Muthukrishnan 和 Nikolov 开发了一种差分隐私机制来回答有界 VC 维数的范围查询，其算法保证如下：
设 ((R = (X, S), f )) 是一个范围查询系统，其中 (f) 是计数查询，且 (R) 的原始粉碎函数为 (\pi_R(s) = O(s^d))（对于任意 (s)）。存在一个算法，该算法输出所有查询，具有以下特性：
- 期望平均平方误差为 (O\left(n^{1 - \frac{1}{d}} \frac{\log \frac{1}{\delta}}{\varepsilon^2}\right))；
- 以至少 (1 - \beta) 的概率，最坏情况下的平方误差为 (O\left(n^{1 - \frac{1}{d}} \frac{\log \frac{1}{\delta} \log \frac{n}{\beta}}{\varepsilon^2}\right))。
该算法是