45、最短路径上的差分隐私范围查询

最短路径上的差分隐私范围查询

1. 范围查询与隐私模型

1.1 最短路径作为范围

将 $R = (X, S)$ 作为一个集合系统，其中 $X$ 是元素集合，$S$ 是子集 $S_i \subseteq X$ 的集合，称为范围。在图 $G$ 中，当最短路径唯一时，可将最短路径定义为范围。这里 $X$ 是图 $G$ 中 $m$ 条边的集合，$S$ 中的每个集合对应 $(u, v)$ 最短路径上的边集。具体而言：
- 对于无向图 $G$，其对应的 $S$ 有 $C_{n}^2$ 个有序集合。
- 对于有向图 $G$，$S$ 最多有 $n^2$ 个有序集合。

基于集合系统 $R = (X, S)$，可以定义范围查询 $(R, f)$，其中查询函数 $f : S \to \mathbb{R}$ 为 ${ f(S) } {S \in S}$。进一步扩展到具有属性函数 $w : X \to \mathbb{R} {\geq 0}$ 的最短距离范围查询，每个集合 $S$ 的查询变为 $f(w(S))$，这里 $w(S)$ 表示对 $S$ 中的每个元素应用属性函数。需要注意的是，属性函数不会影响最短路径，我们的目标是在满足差分隐私定义的前提下，以较小的加性误差发布所有集合的统计信息。

1.2 隐私模型定义

• 定义 1（具有相邻属性的范围查询） ：设 $(R = (X, S), f)$ 是一个范围查询系统，$w, w’ : X \to \mathbb{R} {\geq 0}$ 是将 $X$ 中的每个元素映射到非负实数的属性函数。若 $\sum