13、通用和差分隐私斯坦纳树及旅行商问题的最优下界

通用和差分隐私斯坦纳树及旅行商问题的最优下界

在组合优化问题中，斯坦纳树问题和旅行商问题是经典且重要的问题。而当考虑算法的通用性和差分隐私性时，这些问题又有了新的研究方向。本文将探讨通用和差分隐私的斯坦纳树及旅行商问题的最优下界。

1. 预备知识

我们所研究的下界是基于扩展图的最短路径度量空间。在介绍具体构造之前，先了解一些关于扩展图的已知结果。

• 扩展图定义 ：一个 $(n, d, β)$ 扩展图是一个具有 $n$ 个顶点的 $d$ 正则图，其邻接矩阵的第二大特征值 $β < 1$。其中，图的围长 $g$ 是最小循环的大小，直径 $Δ$ 是两个顶点之间的最大距离。在扩展图上的 $t$ 步随机游走是指随机均匀选择一个顶点，然后每一步随机均匀地移动到相邻顶点。
• 相关引理 ：
  • 引理 1 ：对于任何常数 $k$，存在 $(n, d, β)$ 扩展图，称为拉马努金图，满足 $d ≥ k$，$β ≤ 2\sqrt{d}$，围长 $g = Θ(log n / log d)$，直径 $Δ = Θ(log n / log d)$。
  • 引理 2 ：给定一个 $(n, d, β)$ 扩展图和一个顶点子集 $B$，且 $|B| = αn$，则 $t$ 步随机游走完全停留在 $B$ 内的概率至多为 $(α + β)t$。
  • 引理 3 ：给定一个 $(n, d, β)$ 扩展图、一个顶点子集 $