35、平面凸位置点的高效 k - 中心算法

平面凸位置点的高效 k - 中心算法

1. 引言

在处理平面上处于凸位置的点集时，找到覆盖这些点的 k 个全等圆盘的最小半径 $r^ $ 是一个重要的问题。然而，目前尚未有已知的高效算法来判断给定半径 $r$ 是否满足 $r \geq r^ $。本文将介绍一种决策算法，用于判断是否存在满足条件的覆盖，并最终计算出最小半径 $r^*$。

2. 预备知识

• 凸位置点集 ：若一个有限点集的任何一个点都不能表示为其他点的凸组合，则称该点集处于凸位置。设 $P = {p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}}$ 是平面上处于凸位置的 $n$ 个点的集合，假设这些点的索引按顺时针方向沿着其凸包 $CH(P)$ 排列，将 $P$ 视为一个循环点序列，记为 $\langle p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1} \rangle$，并将索引扩展到所有整数，使得 $p_i = p_j$ 当且仅当 $i \equiv j \mod n$。
• 子序列与子串 ：
  • 子序列是通过从原始序列中删除零个或多个元素而不改变剩余元素的顺序得到的序列。
  • 子串是由原始序列中连续的元素组成的子序列。若两个子串按某种顺序连接后仍是原始序列的子串，则称这两个子串是连续的。用 $P(i, t)$ 表示从 $p_i$ 开始，顺时针方向的 $t$ 个点的子串 $\langle p_i, p_{i + 1}, \ldots, p_{i + t - 1} \rangle$，并将其视为 $P$ 的非循环子串。 </