36、高效算法解决平面凸位置点的 k - 中心问题及双向比较分类问题

高效算法解决平面凸位置点的 k - 中心问题及双向比较分类问题

在计算几何和数据分类领域，有两个重要的问题值得深入探讨。一是平面凸位置点的 k - 中心问题，旨在找到最小半径的 k 个全等圆盘覆盖给定点集；二是双向比较分类问题，即构建最小成本的决策树来对查询进行分类。

平面凸位置点的 k - 中心问题

数据结构与算法基础

• 数据结构支持操作 ：有一种数据结构，它能在点集 $S_1$ 和 $S_2$ 上进行操作，包括将 $P$ 中挨着 $S_2$ 的点追加到 $S_2$ ，以及从 $S_1$ 中删除第一个点。该数据结构能在 $O(n)$ 时间内支持 $n$ 次这样的追加和删除操作。
• 扩展 Wang 的数据结构 ：此数据结构是对 Wang 数据结构的扩展，可处理 $P$ 的三个不相交子串 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$ 。通过维护某些子串对的 Wang 数据结构并利用循环凸包顶点的索引，能判断 $S_1 ∪ S_2 ∪ S_3$ 中点的循环凸包是否为空。

算法时间复杂度相关引理

• 引理 7 ：可以在 $O(m)$ 时间内为 $P$ 的三个不相交子串 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$（$|S_1| + |S_2| + |S_3| = m$）构建一个动态数据结构，该结构能在摊还 $O(1)$ 时间内，维护以 $S_1 ∪ S_2 ∪ S_3$ 中各点为圆心、固定半径的圆盘的交集，同时支持将 $P$ 中挨着 $S_1$（或 $S_3$）的点追加到 $S_1