32、非线性偏微分方程中的能量、重标度与解的性质研究

非线性偏微分方程中的能量、重标度与解的性质研究

1. 能量与解的基本性质

1.1 经典解与临界指数

对于某些偏微分方程，$u^ (x, t)$ 是经典解。其中，Fujita 指数 $p_f = 1 + \frac{2}{n}$ 起到关键作用。当 $1 < p < p_f$ 时，解的 $L^1$ 有界性意味着 $L^{\infty}$ 有界性。若 $p \geq \frac{n + 2}{n - 2}$（$n \geq 3$）且区域 $\Omega$ 为星形，那么 $\limsup_{t \uparrow +\infty} |u^ (t)|_{\infty} = +\infty$。这里，Sobolev 指数 $p_s = \frac{n + 2}{n - 2}$，并且根据 Pohozaev 恒等式，若 $\Omega$ 为星形，静止解集合 $E$ 为空集。

1.2 解的爆破情况

若 $T_{max}(\mu^ ) < +\infty$，解在有限时间内爆破，之后可作为弱解继续；若 $T_{max}(\mu^ ) = +\infty$，则 $u^ = u^ (\cdot, t)$ 在无限时间内爆破。

1.3 H1 解的相关性质

当 $1 < p \leq p_s = \frac{n + 2}{n - 2}$（$n \geq 3$）或 $1 < p < \infty$（$n = 2$），且初始值 $u_0 \in H^1_0(\Omega)$ 时，存在 $T > 0$，使得方程存在唯一解 $u = u(\cdo