34、稀疏图参数的亚线性空间估计与平面凸位置点的高效 k - 中心算法

稀疏图参数的亚线性空间估计与平面凸位置点的高效 k - 中心算法

1. 稀疏图参数的亚线性空间估计

在无法使用 Chernoff 型界的情况下，我们对 $\hat{\lambda}$ 的方差进行界定，并应用切比雪夫不等式。已知 $Var(\hat{\lambda}) = Var(|S|/p) = Var(X)$。有引理表明，如果 $\Delta \leq \epsilon^2n/(3(\bar{d} + 1)^3)$ 且 $p \geq 4(\bar{d} + 1)/(\epsilon^2n)$，那么 $Var(X) \leq \epsilon^2E^2[X]/3$。利用这些工具，我们可以证明相关定理。通过返回多个实例的中位数，算法 1 的成功概率在 $O(\bar{d}\epsilon^{-2} \log \delta^{-1} \cdot \log n)$ 的总空间下达到 $1 - \delta$。

1.1 CARAWAY 算法的三种扩展

CARAWAY 算法（算法 1）可以进一步调整以适应不同的问题设置：
- 在在线流模型中，通过允许使用 $n$ 位的外部解空间内存，我们还能够输出一个实际的独立集。
- 可以通过排除高度数顶点来去除对最大度数的限制，不过这需要一个后处理阶段，因此不是一个在线算法。
- 在顶点随机到达的流中，该算法仅使用 $O(\log(\bar{d}\epsilon^{-2}))$ 的空间。

1.2 森林中近似图参数的亚线性空间流算法

当输入图是森林时，我们设计了亚线性空间流算法来近似图参数。对于每个图参数，我们设计了两种算法：一种是使用 $log^{O(1)} n$ 空间的单遍算