23、树中寻找减小直径的捷径

树中寻找减小直径的捷径

1. 问题背景与引理

在处理图的直径相关问题时，有一些重要的引理和结论。对于足够大的 n 和 3 ≤ k = o(n) ，存在一类满足特定条件的度量 k - doat 实例。这些实例中的每个 ⟨T, c⟩ ， T 是具有 Θ(n) 个顶点的树，且 c 分配的所有树边和捷径成本都是正整数。同时，没有算法能够使用 o(n²) 次查询来判定来自该类的输入实例 ⟨T, c⟩ 是否存在一个解 S ，使得 diam(T + S) ≤ 9 。另外，不存在 o(n²) 查询的 σ - 近似算法用于度量 k - doat，其中 σ < 10/9 且 3 ≤ k = o(n) 。

2. 快速直径计算

2.1 热身：增强路径上的直径计算

给定一个路径 P 和一组 k 条捷径 S ，要计算 P + S 的直径。具体做法是计算每个顶点 s 的离心率 Es := maxv∈V(P) dP + S(s, v) ，而