15、收缩层次结构中搜索空间大小的研究

收缩层次结构中搜索空间大小的研究

1. 收缩层次结构与填充图

在图论研究中，收缩层次结构和图消除游戏之间存在着紧密的联系。给定一个无向图 $G = (V, E)$ 和顶点的一个排序 $\alpha$，可以在图 $G$ 上进行消除游戏。

消除游戏的步骤如下：
1. 从 $G_1 = G$ 开始，在每一步 $i = 1, \ldots, n$ 中，移除顶点 $v_i = \alpha^{-1}(i)$ 及其关联的边，得到图 $G_i$。
2. 插入填充边，使得 $v_i$ 的邻居形成一个团，从而得到图 $G_{i + 1}$。

用 $F_i$ 表示第 $i$ 步插入的边集，$F = \bigcup_{i = 1}^{n} F_i$。填充图 $G_{\alpha}$ 通常定义为边集为 $E \cup F$ 的无向图，但这里将其定义为有向图，所有弧相对于 $\alpha$ 指向上方，即 $G_{\alpha} = (V, A_{\alpha})$，其中 $A_{\alpha} = {uv | {u, v} \in E \cup F \text{ 且 } \alpha(u) < \alpha(v)}$。

下面给出相关定理：
- 定理 2 ：设 $G$ 是一个有向图，顶点排序为 $\alpha$。令 $\overleftarrow{M_{\alpha}^{\vee}}$ 表示 $M_{\alpha}^{\vee}$ 弧反向后的图。则 $M_{\alpha}^{\wedge}, \overleftarrow{M_{\alpha}^{\vee}} \subseteq \ast G_{\alpha}$。此