20、无限维分析与分布理论相关内容解析

无限维分析与分布理论相关内容解析

在数学的研究中，无限维分析和分布理论是非常重要的领域，它们为解决许多复杂的数学和物理问题提供了强大的工具。下面将详细介绍相关的概念、定理和证明。

特征值问题相关结论

对于给定的 (k) 维子空间 (L_k) ，存在 (\tilde{v} \in L_k \setminus {0}) 且 (\tilde{v} \in H_{k - 1}) 。根据 (7.82) 式可得：
(\sup_{v \in L_k \setminus {0}} R[v] \geq R[\tilde{v}] \geq \mu_k) ，这表明 (\Lambda_k \geq \mu_k) 。
若 (L_k) 是 ({v_1, \cdots, v_k}) 的线性生成空间，再次依据 (7.82) 式，有 (\max_{v \in L_k \setminus {0}} R[v] = \mu_k) ，所以 (\Lambda_k) 可由 (L_k) 取得且等于 (\mu_k) 。

为证明第二个等式，定义 (\Sigma_k = \sup_{V_k} \inf_{v \in V_k \setminus {0}} R[v]) 。若 (W_n) 是 ({v_1, \cdots, v_n}) 的线性生成空间，那么任意 (V_k) 都满足 (V_k \cap W_k \neq {0}) 。由 (7.82) 式可知 (\inf_{v \in V_k \setminus {0}} R[v] = \min_{v \in V_k \setminus {0}} R[v] \leq \mu_k) ，即 (\Sigma_k \leq \mu_k) 。当 (V_k = H_{k - 1}) 为