14、广义部分顶点覆盖问题的近似算法与复杂度分析

广义部分顶点覆盖问题的近似算法与复杂度分析

1 问题概述

广义部分顶点覆盖问题涉及一个简单无向图 (G = (V, E))，其边被划分为 (m) 个颜色类 (E_1, E_2, \cdots, E_m)，每个颜色类 (E_i) 有一个覆盖要求 (c_i \geq 1)，同时有一个对广义部分顶点覆盖解大小的限制 (k)。目标是找到一个子集 (S \subseteq V)，(|S| \leq k)，使得对于每个颜色类 (i)，(E_i) 中至少有一个端点在 (S) 中的边的数量至少为 (c_i)。

1.1 不同参数下的结果总结

参数	结果
(k)	- 对于任意 (\gamma \leq 1)，在 (f(k) \cdot n^{o(k)}) 时间内无法进行 (\gamma) 近似（定理 3） - 在 (n^{O(k)}) 时间内可精确求解（平凡情况）
(m)	- 当 (m = 1) 时，为 APX 难问题 - 在 (n^{O(m / \epsilon^3)}) 时间内可进行 ((1 - \frac{1}{\mathrm{e}} - \epsilon)) 近似
(k + m)	- 不存在 (f(k, m) \cdot \text{poly}(