13、社交公平匹配与广义部分顶点覆盖问题研究

社交公平匹配与广义部分顶点覆盖问题研究

1. 社交公平匹配问题

社交公平匹配问题是一个有实际意义的匹配问题。研究人员对该问题在精确计算和近似计算方面的复杂性进行了系统研究。

1.1 问题归约与复杂度证明

通过将分区问题（Partition）归约到社交公平匹配问题来证明其复杂度。分区问题是判断是否可以将集合 $A$ 划分为两个集合 $A_1$ 和 $A_2$，使得 $A_1$ 和 $A_2$ 中整数的和相等，该问题是弱 NP - 难的。
具体归约步骤如下：
1. 定义两个不相交的顶点集 $R = {r_1, r_2, \ldots, r_n}$ 和 $B = {b_1, b_2, \ldots, b_n}$，构建一个完全二分图 $G = (R \cup B)$，即对于所有 $1 \leq i, j \leq n$，$r_i$ 和 $b_j$ 之间都有边相连。
2. 定义边的权重：对于 $1 \leq i \leq n$，设置 $w(r_i, b_i) = a_i$；对于 $1 \leq i \neq j \leq n$，设 $w(r_i, b_j) = n \cdot L$，其中 $L = \sum_{i = 1}^{n} a_i$。
3. 任何成本至多为 $L$ 的解必须输出匹配 $M = { {r_i, b_i} : 1 \leq i \leq n}$。此时任务变为找到一个赋值 $f : M \to {red, blue}$。
4. 可以发现赋值 $f$ 与分区问题中集合 $A$ 的划分 ${A_1, A_2}$ 之间存在双射关系。特别地，判断是否存在赋值 $f : M \to {red, blue}$，使