14、广义随机最短路径度量下优化问题的概率分析

广义随机最短路径度量下优化问题的概率分析

在实际的优化问题中，简单的启发式算法常常能展现出卓越的性能，然而传统的最坏情况分析往往难以解释这种现象。因此，算法的“超越最坏情况分析”，尤其是概率分析，近年来受到了广泛关注。

1. 引言

大规模优化问题，如旅行商问题（TSP），在众多应用中频繁出现。这些问题通常具有较高的计算复杂度，但在实际应用中，一些临时的启发式算法却能成功地找到接近最优解的方案。尽管理论上这些启发式算法的表现可能并不理想，但它们在实践中的性能却十分出色。

为了解释这种差异，概率分析在过去几十年中被广泛应用。然而，概率分析的挑战在于找到一个合适的概率模型，该模型既要能反映现实中的实例，又要足够简单以便进行分析。

目前，在大多数情况下，要么使用欧几里得空间来生成度量优化问题的实例，要么使用独立同分布的边长度。但这两种方法都存在明显的局限性，难以解释启发式算法在一般度量实例上的平均性能。为了克服这些缺点，Bringmann等人提出并分析了一种生成随机度量空间的模型。

2. 相关工作

Bringmann等人提出的模型被称为随机最短路径度量，也被称为首过渗流。在完全图的首过渗流中，两个固定顶点之间的期望距离约为 $\ln(n)/n$，从一个固定顶点到最远顶点的期望距离约为 $2\ln(n)/n$，度量的期望直径约为 $3\ln(n)/n$。此外，对于Erdős–Rényi随机图的首过渗流，也有一些已知的结构性质。Bringmann等人使用该模型在完全图上分析了匹配、TSP和k - 中位数问题的启发式算法。

3. 我们的结果

目前，尚未有针对非完全图的该模型下启发式算法的