65、跨学科建模：生物、医学与社会科学中的应用

跨学科建模：生物、医学与社会科学中的应用

1. 生物图案形成的数学模型

1.1 图灵的贡献与反应扩散模型

自20世纪60年代末和70年代初以来，数学在生物学中的应用得到了显著发展。图灵的《形态发生的化学基础》在空间模式建模的多个领域具有开创性意义。他展示了一个由可扩散的反应化学物质组成的系统，如何产生化学浓度的稳态异质空间模式。他将这些化学物质称为形态发生素，并假设这些形态发生前模式可以引导细胞分化，从而形成观察到的空间模式。其模型用以下耦合的反应扩散方程组表示：
[
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t} = \gamma f(u, v) + D_u \nabla^2 u \
\frac{\partial v}{\partial t} = \gamma g(u, v) + D_v \nabla^2 v
\end{cases}
]
其中，函数 (f(u, v)) 和 (g(u, v)) 表示与化学物质 (u)（激活剂）和 (v)（抑制剂）相关的反应动力学，(D_u) 和 (D_v) 分别是 (u) 和 (v) 的扩散系数，参数 (\gamma) 是域尺度的度量。稳定性分析表明，为了在 (u) 和 (v) 中产生空间模式，抑制剂的扩散率必须高于激活剂，即 (D_v > D_u)。

1.2 动物皮毛图案形成的研究

一个特定的实验反应扩散机制被用于研究动物皮毛图案和蝴蝶翅膀图案的形成。该机制的反应项如下：
[
\begin{cases}
f(u, v) = a - u - h(u, v) \
g(