30、偏微分方程中的实分析与非线性问题研究

偏微分方程中的实分析与非线性问题研究

1. 约翰 - 尼伦伯格不等式证明

存在由维度 (n) 确定的 (c_1(n) > 0)，(c_2(n) > 0)，使得在 (\sqrt{n}B \subset \Omega)，(t > 0) 时满足相应不等式。证明过程中，设 (Q) 是包含 (B) 的最小立方体，由 ({x \in B | |v(x) - v_B| > t} \subset {x \in Q | |v(x) - v_Q| > t - |v_B - v_Q|})，结合引理 11.5 可得：
[
|{x \in B | |v(x) - v_B| > t}| \leq c_3 |Q| \exp (-c_4 \max {0, t - |v_B - v_Q|} / |v| {BMO}) \leq c_3 |Q| \exp (-c_4t/ |v| {BMO}) \cdot \exp (c_4 |v_B - v_Q| / |v| {BMO})
]
再根据引理 11.4 有 (|v_B - v_Q| \leq c_1(n)c_0(n) |v| {BMO})，从而完成证明。

2. 极大函数

2.1 变分问题的弱收敛问题

一些变分问题甚至不存在弱解。有界极小化序列的弱极限通常无法达到最小值，除非泛函关于弱收敛是下半连续的。这种序列通常有以下典型行为：
- 质心逃逸到无穷远。
- 集中到几个点。
- 振荡。

2.2 维塔利覆盖引理与极大函数性质

• 维塔利覆盖引理（引理