29、偏微分方程中的实分析：Moser迭代与Hardy空间

偏微分方程中的实分析：Moser迭代与Hardy空间

1. Moser迭代方案与正则性理论

1.1 Sobolev嵌入定理

在研究非线性问题的正则性理论时，Sobolev嵌入定理是一个重要的基础。对于基于 (L^2(\Omega)) 的 (H^1_0(\Omega)) 空间，我们可以构造基于 (L^p(\Omega)) 的函数空间 (W^{1,p} 0(\Omega))。其中，(W^{1,p}(\Omega)) 是其一阶导数直到 (p) 次可积的函数集合，而 (W^{1,p}_0(\Omega)) 是 (C^\infty_0(\Omega)) 在 (W^{1,p}(\Omega)) 范数 (|v| {W^{1,p}(\Omega)} = (|\nabla v|_p^p + |v|_p^p)^{1/p}) 下的闭包。

当 (\Omega\subset\mathbb{R}^n)（(n \geq 3)）为有界区域，且 (p \in [1, n)) 时，有嵌入关系 (W^{1,p} 0(\Omega) \subset L^{p^ }(\Omega))，其中 (p^ = \frac{np}{n - p})。并且存在由 (n) 和 (p) 确定的常数 (C > 0)，使得对于任意 (v \in W^{1,p}_0(\Omega))，有 (|v| {\frac{np}{n - p}} \leq C |\nabla v|_p)。

1.2 次调和函数与相关不等式

接下来，我们关注内正则性，考虑 (n \geq 3) 的情况。若 (u = u(x) \in H^1_{loc}(\O