28、偏微分方程中的位势与实分析：理论与应用

偏微分方程中的位势与实分析：理论与应用

在偏微分方程的研究中，位势理论和实分析是两个至关重要的领域。位势理论为解决各类边界值问题提供了强大的工具，而实分析则为建立解的适定性和正则性提供了理论基础。本文将深入探讨位势理论中的层位势、Fredholm理论、Poisson方程以及Schauder估计，同时介绍实分析中的Hölder正则性和Dirichlet原理。

1. 层位势理论

层位势理论是解决偏微分方程边界值问题的重要方法。对于有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$，其边界 $\partial \Omega$ 光滑，定义了单层积分和双层积分：
- 单层积分 ：$v(x) = \int_{\partial \Omega} f(\eta) \Gamma(x - \eta) dS_{\eta}$
- 双层积分 ：$w(x) = \int_{\partial \Omega} f(\eta) \frac{\partial}{\partial \nu_{\eta}} \Gamma(x - \eta) dS_{\eta}$

其中，$\nu$ 表示外单位法向量，$\Gamma(x) = \frac{1}{4\pi |x|}$。这两个积分在 $\mathbb{R}^3 \setminus \partial \Omega$ 中是调和的。

1.1 双层位势的弱奇异性

当 $\eta \to x_0 \in \partial \Omega$ 时，有 $\frac{x_0 - \eta}{|x_0 - \eta|} \cdot \nu_{\