20、二阶偏微分方程与弹性力学分析

二阶偏微分方程与弹性力学分析

1. 二阶偏微分方程相关内容

1.1 系统矩阵组装

在分析过程中，需要收集支持基函数的每个分析控制点的自由度编号，并将每个单元区域积分的所有行和列分散（组装）到更大的系统矩阵中。具体公式如下：
[
[K] = [K]+ [K_{iE}], [M] = [M]+ [M_{iE}], {F_{B}} = {F_{B}}+ {F_{iE}^{B}}
]
这里假设区域具有单位厚度。即使厚度不为 1，它也会作为常数乘以所有单元矩阵，并且在组装时会相互抵消。

1.2 边界条件处理

通常，在区域边界的部分边缘上存在非零的 Neumann 或 Robin 条件。对于这些条件，需要使用类似的一维积分计算来得到源合力。此时，雅可比矩阵 $[J_{xy:q}]$ 是一个标量，即 $1\times1$ 矩阵，涉及微分线长度的平方根。

1.3 平面概念与轴对称域

平面概念包括常见的轴对称域，它们遵循相同的步骤，但在定义每弧度的微元体积时多了一步，即 $dV = R(r_{q}, s_{q}) dA$。需要注意的是，通常的常数 $\pi$ 项并不存在，因为它在组装后会从所有矩阵中提出，无需多次包含它再在最后抵消。

1.4 整数索引空间回顾

一些文献使用了不同的整数索引空间概念，将分析节点向量的第一个和最后一个填充项包含在其索引空间的周边。而当前方法使用节点向量中的唯一数字，这样更容易识别参数空间中非零基函数的区域。

在索引空间中，每个非零节点跨度会在其参数坐标方向上定义一个子范围（或单元）。索引空间中重叠