31、图结构代数与符号问题的复杂度研究

图结构代数与符号问题的复杂度研究

1. 引言

求解线性方程组的算法在数学、优化以及理论算法领域一直是研究热点。尽管针对一般线性系统的求解器已经备受关注，但目前其最佳复杂度仍为亚二次。因此，寻找更快的线性系统求解算法，尤其是具有亚二次运行时间的算法，越来越聚焦于具有额外结构的情况。

许多线性系统涉及具有额外结构的矩阵。利用这些结构提高算法效率主要有两种方法：
- 基于分隔器的求解器 ：如嵌套剖分及其推广。若矩阵 $A$ 的底层图是平面的或避免了固定子式，那么 $Ax = b$ 可在任意域上以亚二次时间求解。
- 基于有限元的求解器 ：结构化线性系统求解器利用系数的组合和代数结构来加速计算，例如图拉普拉斯矩阵和对称对角占优（SDD）矩阵。在 Spielman 和 Teng 提出第一个近似线性时间的拉普拉斯求解器后，相关研究不断改进拉普拉斯系统的求解运行时间。

然而，基于有限元的方法的一个主要局限是其许多构建块仅适用于实数域。但在密码学、拓扑学以及生成精确分数解的算法等应用中，需要在有限域上求解系统。大多数基于有限域的基本操作的运行时间超过二次，远长于图结构矩阵在实数域上的近似线性运行时间。因此，研究为图结构矩阵的近似线性时间算法所开发的思想是否能在有限域环境中带来收益是很自然的。

本文表明，将基于实数域的图方法推广到有限域环境是不太可能的。具体而言，证明了在 $Z_p$ 上求解以下几类线性系统与求解 $Z_p$ 上的一般线性系统一样困难：
- a) $Z_p$ 上的拉普拉斯矩阵；
- b) $Z_p$ 上的单位权重拉普拉斯矩阵；
- c)