23、散射与逆散射理论中的关键概念与证明

散射与逆散射理论中的关键概念与证明

1. 散射相关估计与定理

首先，有一个从(8.15)推导而来的项，通过一系列积分估计可得：
[
\int_{x}^{\infty} dz \int_{x}^{\infty} ds|F_{+}(z)| \cdot |u(s)| \cdot |K_{+}(s, z - x)| \leq c_{+}(x)e^{\hat{\rho} {+}(x)}\hat{\rho} {+}(x) \cdot \tau_{+}(x)^{2}
]
经过符号变换，可得到(8.45)。

定理8.8 ：函数(B_{+} = F^{-1}(s_{21}))和(B_{-}= F^{-1}(s_{12}))是绝对连续的，并且满足：
[
\int_{a}^{\infty} (1 + |x|^{2})|B_{+}’(x)|dx < +\infty
]
[
\int_{-\infty}^{a} (1 + |x|^{2})|B_{-}’(x)|dx < +\infty, \quad -\infty < a < +\infty
]
证明 ：因为(F_{\pm}(x))是绝对连续的，所以(B_{\pm}(x))也是。利用(8.45)，由((1 + x^{2})\tau_{+}(x) \leq c_{+}(x))可得(\int_{a}^{\infty} (1 + |x|^{2})|F_{+}’(x)|dx < +\infty)，再由(8.41)可推出上述结论。