54、逆散射理论的数学基础与应用

逆散射理论的数学基础与应用

1. 引言

散射理论主要研究障碍物和不均匀性对波（特别是时谐波）传播的影响。在实际应用中，散射理论为通过声波和电磁波进行成像提供了数学工具，广泛应用于雷达、声纳、地球物理学、医学成像和无损检测等领域。

为了简化讨论，我们主要关注声波的情况，对电磁波情况仅作简要提及。同时，我们将省略大部分证明过程。

数学声学始于对声波的建模。声波传播和散射的主要介质有空气和水（水下声学），人体组织（超声）也是一种重要介质。由于声波被视为气体或流体中的小扰动，声学方程（即波动方程）可通过对流体运动方程进行线性化得到：
[
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = \Delta p
]
其中，(p = p(x, t)) 是压力，(c = c(x)) 是当地声速，流体速度与 (\nabla p) 成正比。对于形式为 (p(x, t) = \text{Re}{u(x) e^{-i\omega t}}) 的时谐声波，复值空间相关部分 (u) 满足简化波动方程：
[
\Delta u + \frac{\omega^2}{c^2}u = 0
]
在均匀介质中，声速 (c) 为常数，上述方程变为亥姆霍兹方程：
[
\Delta u + k^2u = 0
]
其中，波数 (k = \frac{\omega}{c})。

满足亥姆霍兹方程且定义域包含某个球外部的解，如果满足索末菲辐射条件，则称为辐射解：
[
\lim_{r \to \infty} r \left(\frac{\p